Darstellungsmatrizen von Polynomen

03.12.2008, 19:10

Machiavelli23

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Darstellungsmatrizen von Polynomen

Hallo,
ich habe folgendes Problem und hoffe, mir kann jemand helfen.

Es wird der dreidimensionale $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum betrachtet.

Dann ist gegeben $\begin{eqnarray*} V= \{ f(X)\in\mathbb R[X] /grad f(X)\leq 2\} \end{eqnarray*}$

mit den Basen $\begin{eqnarray*} A=(1,X,X^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(1,2+X,1+2X+X^2) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Darstellungsmatrizen $\begin{eqnarray*} M_{A}^A (F), M_{A}^B (F), M_{B}^B (F) \end{eqnarray*}$ bilden.

Wir haben sonst Darstellungsmatrizen gebildet, wobei die Basen aus 3-dimensionalen Vektoren bestanden und am Anfang schon eine Matrix gegeben war. Ich kann grad nichts mit dem Gegebenen anfangen. Wie erechnet man hier eine Darstellungsmatrix? Vielen Dank für eure Hilfe

03.12.2008, 19:29

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Vielleicht verrätst du uns noch, was F ist?

03.12.2008, 19:30

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Ok, du hast also einen Vektorraum und eine Basis A. Mit der läßt sich jeder Vektor als LK schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_0 \cdot 1 + a_1\cdot x + a_2 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Wie würde man nun bei geg. Koordinaten $\begin{eqnarray*} (a_0,a_1,a_2)_A \end{eqnarray*}$ das Polynom f bzgl. der Basis B darstellen?

$\begin{eqnarray*} f(x)=b_0 \cdot 1, b_1\cdot (2+x) + b_2 \cdot (1+2x+x^2) \end{eqnarray*}$

Du musst also einen Basiswechsel durchführen.

[Artikel] Basiswechsel

Was soll F sein? (Weil es nun groß geschrieben ist)

03.12.2008, 19:58

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
danke das ging wirklich schnell. Also F ist einfach die Funktion f(x). Dass es nun großgeschrieben ist hat keine Bedeutung. Wir schrieben in der Vorlesung f(x) aber zum Beispiel $\begin{eqnarray*} F: V -> W \end{eqnarray*}$

03.12.2008, 20:06

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Da ist aber schon ein Unterschied. Das f(x) ist ein Vektor aus V. Das F eine lin. Abbildung von V nach W.

03.12.2008, 20:12

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Und daher bin ich auch der Meinung, daß es irgendwo noch eine Abbildung F geben muß, sonst macht es keinen Sinn, von Darstellungsmatrizen zu reden.

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03.12.2008, 20:19

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
mm.. ja also ich weis es leide rnicht besser zu erklären weil ich ja nicht viel mit der Aufagbe anzufangen weis. Bei uns heißen die Dartellungsmatrizen bis jetzt immer
$\begin{eqnarray*} M_{A}^B (F) \end{eqnarray*}$ . Nun hatten wir bis jetzt auch immer eine Abb F gegeben und Basen in der "normalen" n-dimensioanlen Vektordarstellung gegeben und dann steht auf einmal diese Aufgabe da...

03.12.2008, 20:27

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Ohne ein F, können wir nur einen Basiswechsel aus den Angaben berechnen. Bitte frag an der Uni rück, wir drehen uns im Kreis.

03.12.2008, 20:28

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
moment.. also wenn es eine Funktion geben muss dann ist sie sicherlich in die falsche Teilaufgabe gerutscht. Und zwar habe ich bei Teilaufgabe a)
Sei $\begin{eqnarray*} F: V -> V \end{eqnarray*}$ die Abb, die jedem $\begin{eqnarray*} f(x)=a+bX+cX^2 \end{eqnarray*}$ aus V das Bild $\begin{eqnarray*} F(f(x))=b+cX \end{eqnarray*}$ zuordnet.
Das hatte mich auch etwas stuzig gemacht aber normalerweise stehen Funktionen, die für alle Teilaufgaben gelten in die Aufgabenstellung..
bisschen peinlich.. da sieht man mal wie gut ich die Aufgabe durchschaue

03.12.2008, 20:32

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Manchmal könnte ich .... böse

böse

Warum schreiben wir nur "Bitte gesamte Aufgabenstellung posten" geschockt

geschockt

Wie sieht also die Matrix von F bzgl. der Basis A (die nennt man Monombasis) aus?

03.12.2008, 20:46

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
ich weis leider nicht, wie ich von einer Funktion eine Matrix erstellen soll. da shabe ich noch nie gemacht

03.12.2008, 20:53

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Wie lautet der Koordinatenvektor von f? (Aufsteigender Monomgrad)

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie lautet nun der Bildvektor u=Fv?

03.12.2008, 21:10

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
also ich nenn mal ein Vektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weil ja in der Funktionsvorschrift schon a,b,c vorkommen.?
Dann wäre der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} f(v)=\begin{pmatrix} a+rx+cr^2\\a+sx+cs^2\\a+tx+ct^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Dementsprechend $\begin{eqnarray*} u=F(v)= \begin{pmatrix} b+ac+rcx+c^2r^2\\b+ac+scx+c^2s^2\\b+ac+tcx+c^2t^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2008, 21:17

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Nein. Was steht in der Abbildung? Beides mal werden die Vektoren bzgl.der Monombasis angegeben.

$\begin{eqnarray*} F: V -> V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=a+bx+cx^2 \end{eqnarray*}$

wird abgebidet auf, und da ergänue ich mal was.

$\begin{eqnarray*} F(f(x))=b+cx+0x^2 \end{eqnarray*}$ zuordnet.

Also, wie lautet der Bildvektor? Wie lautet die Matrix?

03.12.2008, 21:45

Machiavelli23

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
in der abb steht das jedes x das bild $\begin{eqnarray*} a+bx+cx^2 \end{eqnarray*}$ besitzt. daher dachte ich dass auch jedes element eines vektors zb r dann das bild $\begin{eqnarray*} a+br+cr^2 \end{eqnarray*}$ besitzen muss. ja und für F(f(x)) halt genauso. Wo liegt denn mein Fehldenken?

03.12.2008, 21:55

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrizen von Polynomen
Dein denkfehle rliegt darin, dass du mir nicht zuhörst. Ich habe dir ein Beispiel doch schon vorgemacht. Nun mach es doch einfach nach.

Zitat:

Wie lautet der Koordinatenvektor von f? (Aufsteigender Monomgrad)

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie lautet nun der Bildvektor u=Fv?

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