Abzählbarkeit

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imag Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit
Hallo
Will folgende Aufgabe lösen, aber weiß icht recht wie ich anfangen soll:
Für nichtleereMengen X und Y sei

Untersuche die Menge und auf Abzählbarkeit. (die "(0,1)" soll in beiden Fällen eigentlich so aussehen: {0.1})

Ich weiß, dass abzählbar bedeutet, dass die Mengen endlich oder abzählbar unenedlich sein müssen. Aber wie untersuche ich das bei diesen Mengen?
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
imag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbarkeit
Ich kann doch schreiben:


aber wie prüfe ich jetzt die Abzählbarkeit?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

zu :

Betrachte mal
imag Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt man denn auf das ?
Soz.Päd. Auf diesen Beitrag antworten »

M1 := (f: {0, 1} - N}
M2 := (g : N - {0,1})

Idee: Wir zeigen, dass M1 abzählbar undlich ist.

Wir zeigen, dass jede Teilmengen M1'(m) von M1 endlich ist; dabei konstruieren wir so, dass jede Funktion f in mindestens einer Teilmenge M1'(m) enthalten sein muss.

M1'(m) := (f': {0, 1} - N, wobei für alle f' gilbt: f' <= m}

M1 ist also abzählbar unendlich, d.h. es gibt eine Bijektion
b : N - M1.

Behauptung: M2 ist nicht abzählbar unendlich.

Beweis: Angenommen, M2 wäre abzählbar unendlich. Dann gäbe es eine Bijektion b: N - M2. Wir konstruieren nun eine Funktion f' mit folgenden Eigenschaften für jedes n e N.
Es sei b(n) = f.
(Anmerkung: Laut Definition bildet die Funktion b jedes n e N auf ein f e M2 ab.
Wenn f(n) = 0, dann sei f'(n) = 1.
Wenn f(n) = 1, dann sei f'(n) = o.

Es ist f' e M2. Also existiert ein p e N mit:
b(p) = f'.
Laut unserer Definition von f' kann aber weder f'(p) = 0 noch f'(p) = 1 sein: Widerspruch.

Gruß
Soz.Päd.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@Soz.Päd.: Wie wäre es, wenn du dich mal hier anmeldest, statt schon seit längerer Zeit ständig Komplettlösungen zu posten, die wegen mangelndem Latex schwer zu entziffern sind und weiterhin für Anfänger schwer zu verstehen sind?

Mit solchen Posts ist den meisten Fragestellern hier sicher nicht geholfen.


@imag: Ich bin folgendermaßen auf gekommen. Sei M endlich. Dann ist . Das ist mit etwas Kombinatorik leicht einzusehen. Die Vermutung ist also das ganze auf abzählbare Mengen zu übertragen und zu vermuten.

Meine Abbildung soll ein Ansatz für ein Beweis dessen sein.
 
 
imag Auf diesen Beitrag antworten »

ok. das heißt ich muss jetzt beweisen, dass eine abzählbare menge ist oder? aber laut vorraussetzung werden f(0) alle Zahlen aus zugeordnet und f(1) auch oder?
aber wenn ich ehrlich bin komm ich damit irgendwie nicht richtig weiter. wie beweise ich das denn?
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Hänge da irgendwie fest und bei der lösung blicke ich nicht so ganz durch. kann mir jemand " auf die sprünge helfen"?
würde mir echt sehr helfen! danke!
imag Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir wirklich garkeiner helfen?
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