Relation

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Talusch Auf diesen Beitrag antworten »
Relation
Hi!
Ich soll untersuchen ob die folgende Relation R auf der Menge A die folgenden Eigenschaften besitzt:Reflexivität, Transitivität, Symmetrie, Antisymmetrie :

(1) A sei beliebig ausser Komplex und: aRb für alle a,b Elemt aus A

Habe ich hier nicht viel zu wenig Infos gegeben? Ich kann doch garnicht sagen ob diese Relation beispielsweise reflexiv ist, da ich garkeine Ahnung hab wie Diese aussehen soll.

Seh ich das richtig das man das garnicht bearbeiten kann?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation
Zitat:
A sei beliebig ausser Komplex

Was soll das denn heißen? verwirrt

Wir sagen einfach mal, dass A eine beliebige Menge ist. Die Relation ist nun ganz wunderbar definiert, nämlich stehen zwei beliebige Elemente immer(!) in Relation zueinander.

Ein Beispiel für eine solche Relation wäre zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen mit der Relation . Klar dass dann immer zwei beliebige Elemente in Relation zueinander stehen.

Lässt sich wirklich ganz wunderbar bearbeiten diese Aufgabe. smile
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dein Beispiel wäre Reflexiv, antisymetrisch und transitiv;also eine Ordnung.
Gilt dies nun für alle Relationen der Art?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Beispiel ist ganz bestimmt nicht antisymmetrisch:

Jede Zahl steht zu jeder in Relation, also 2R5 und 5R2. Antisymmetrie bedeutet, dass daraus 2=5 folgt und das gilt hier nicht.

Nochmal: Jedes Element steht zu jedem in Relation, das ist so ziemlich die unkomplizierteste Relation, die man sich denken kann.
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, hab das "oder irgendwie" übersehen.... also Reflexiv, symmetrisch und transitiv, demnach eine äquivalenzrelation,richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Lässt sich auch wunderbar auf jede beliebige Menge A übertragen. Es gibt dann auch nur eine Äquivalenzklasse, nämlich die ganze Menge A.

Für manche A kann die Relation sogar antisymmetrisch sein. Welche Eigenschaft muss A dazu haben?
 
 
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss zugeben dass ich gerade überfragt bin... für das obige beispiel fällt mir keine Menge A ein, für das die relation antisymetrisch wäre. Es verändert sich doch nichts wenn ich A aus den natürlichen,ganzen,rationalen oder reelen zahlen nehme, oder?Für komplexe zahlen wär diese Relation doch auch nichtssagend oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig, die genaue Struktur von A wird hier gar nicht betrachtet, es ist einfach nur eine Menge (Addition, Multiplikation,.. sind hier nicht gegeben). Eine Menge unterscheidet sich strukturell von anderen Mengen letztlich nur durch ihre Mächtigkeit.

PS: Das ist auch der Grund, weshalb mich dieses "A sei beliebig ausser Komplex" verwirrt.
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... versteh ich nicht. Wenn ich das bei Wiki gerade richtig verstanden habe ist die Mächtigkeit doch nur ein Maß der Elemetanzahl innerhalb der Menge A. Wieso sollte das die Relation in ihrer Symmetrie beeinflussen können?
Hast du vielleicht ein Beispiel parat bei dem die Relation antisymmetrisch wäre?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Danach sollst Du ja selbst suchen. Für unendliche Mengen ist die Relation immer antisymmetrisch, aber bei endlichen Mengen nicht. Wie sieht das z.B. bei |A|=0,1,2,3.. aus?
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ja bei |A|=0 gibts ja eigentlich keine Relation in dem Sinne da man ja keine Elemte hat die man miteinander vergleichen kann.
Bei |A|=1 kann man lediglich ein Element mit sich selbst vergleichen
Bei |A|=2 kann man das erste mit sich selbst und dem zweiten ,und das zweite mit sich selbst und dem ersten
Bei|A|=3 z.b. A:={a,b,c} lassen sich folgende relationen aufstellen aRa,aRb, aRc,bRa,bRb,bRc,cRa,cRb,cRc
|A|=4 .....
Die anzahl der Möglichen Relationen nimmt zu und zwar folgendermaßen
|A|=n => es gibt n² verschiedene Relationen.
Aber warum solle A antisymetrisch werden wenn n gegen unendlich läuft?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung! Tränen

Für unendliche Mengen ist R natürlich nicht antisysmmetrisch, hast Du ja oben auch schon gesagt. Für die meisten endlichen Mengen auch nicht, aber wenn beispielsweise A nur aus einem Element besteht, also A={x}, dann besagt ja die Antisymmetrie:
und
für alle

Es gibt aber nur ein Element in A, also lautet die obige Vorschrift hier nicht anders, als:
und
und das stimmt offensichtlich. Also ist R für einelementige Mengen auch antisymmetrisch.

Ist so gibt es keine Elemente und die Aussage gilt somit für alle . R ist ebenfalls antisymmetrisch.
Talusch Auf diesen Beitrag antworten »

Ach okay!
Dank dir für die Hilfe!
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