Konvergenz, grad ein Schrank vorm Kopf

04.12.2008, 04:12

Sackleinen

Konvergenz, grad ein Schrank vorm Kopf

Wie kann ich hier geschickt umformen um zu sehen was passiert wenn ich n gegen unendlich laufen lasse?

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n} n!}{2 n^{n}} \end{eqnarray*}$

Ich habe nach einem 18 std Tag gerade einen ganzen Schrank vorm Kopf :/

Es handelt sich um eine PR wo ich noch einzelne Punkte überprüfen muss.
Darf ich hier eigtl die üblichen Reihenkonvergenzkriterien benutzen?

mfg
Stefan

04.12.2008, 07:46

Klappergrasmuecke

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Hmm ich hätte jetzt versucht per Induktion sowas zu beweisen wie

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

Wenn du das dann mit $\begin{eqnarray*} n^{-n} \end{eqnarray*}$ multiplizierst hast du

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n-1} \cdot n!}{n^n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ . Links steht ja dann dein Ausdruck und rechts eine Nullfolge. Naja und weil dein Ausdruck eh größer gleich Null ist hast du mit dem Sandwich-Lemma, dass das ne Nullfolge ist.

Ist vermutlich nicht das geschickteste, aber müsste machbar sein... :/

04.12.2008, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Ist vermutlich nicht das geschickteste, aber müsste machbar sein... :/

So?

Dann beweise doch mal $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot n! \leq n^{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Für n <= 12 gilt dies jedenfalls nicht.

Mir ist völlig schleierhaft, warum du etwas in den Raum stellst, ohne das wenigstens ansatzweise geprüft zu haben. unglücklich

@Sackleinen: Zeige, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{2^{n} n!}{2 n^{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

04.12.2008, 09:03

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Zitat:

Original von Sackleinen
Es handelt sich um eine PR wo ich noch einzelne Punkte überprüfen muss.

Soll das bedeuten, dass es eigentlich um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{2 n^{n}} x^n \end{eqnarray*}$

o.ä. geht? Falls ja, dann schreib das doch gleich hin, das erspart unnötige Raterei.

04.12.2008, 10:00

Sackleinen

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Nicht ganz. Es geht um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{ n^{n}} x^n \end{eqnarray*}$

Wo ich als Konvergenzradius 1/2 bestimmt habe und eben noch die Punkte 1/2 und (- 1/2) prüfen muss.

Wurzel und Quotientenkriterium versagen aber leider.

04.12.2008, 10:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sackleinen
Wo ich als Konvergenzradius 1/2 bestimmt habe

Und wie bist du darauf gekommen? verwirrt

Und wenn ich in $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{ n^{n}} x^n \end{eqnarray*}$ x = 1/2 einsetze, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{ n^{n}} (\frac 1 2)^n \end{eqnarray*}$ und nicht auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{2 n^{n}} \end{eqnarray*}$ .

04.12.2008, 10:17

Sackleinen

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aua, ich hab das hoch n vergessen.... damit fällt das 1/2 ja praktisch weg

04.12.2008, 10:34

klarsoweit

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Bleibt immer noch die Frage, wie du auf den Konvergenzradius 1/2 gekommen bist?

04.12.2008, 14:59

Klappergrasmuecke

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@ klarsoweit: Für große n gilt die Beziehung auf jeden Fall. Ich wusste auch nicht, dass es um ne Reihe geht, denn was im Anfangspost stand war ne Folge.

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