Stetigkeit

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sinachen Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Ich hab mal eine (wahrscheinlich recht dumme) Frage:

Ich höre immer für Stetigkeit folgende Defnition, nach dem Motto, dass wenn man die Funktion ohne Absetzen durchzeichnen kann, ist sie stetig.
Jetzt habe ich eine Aufgabe, wo man einige Funktionen nicht durchzeichnen kann, weil sie an einigen Stellen nicht definiert sind, weil sonst z.B. der Nenner eines Bruches 0 oder ich ansonsten ln (0) haben würde, was ja beides nicht sein darf.
So wären für mich dann beide Funktionen eigentlich nicht stetig, jedoch steht auf dem Lösungsblatt folgendes:

Nach dem Satz 11.31 (Stetigkeit und algebraische Rechenoperationen) sind alle Funktionen f1, f2, f3
und f4 stetig in ihren Definitionsbereichen, weil die Polynome, dieWurzelfunktion, die Exponentialfunktion
und der Logarithmus stetig sind.


Kann mir jemand den Zusammenhang erklären?
Weil irgendwie finde ich es logisch das Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Erstmal werden grundsätzlich Funktionen nur auf ihrem Definitionsbereich betrachtet. Wo eine Funktion nicht definiert ist, ist die Frage nach der Stetigkeit als solche obsolet. Allenfalls kann man nach Möglichkeiten einer stetigen Fortsetzung fragen.

Der Gedanke, es wäre logisch, daß Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind, ist unzutreffend. Daß es unstetige Funktionen gibt, solltest du schon aus der Schule wissen. Beispielsweise f(x) = sign(x). Um mal ein ganz einfaches Beispiel zu nehmen. smile
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Erstmal werden grundsätzlich Funktionen nur auf ihrem Definitionsbereich betrachtet. Wo eine Funktion nicht definiert ist, ist die Frage nach der Stetigkeit als solche obsolet.


Bis hierhin verstanden!

Kann mir dann einer Stetigkeit möglichst leicht erklären, am besten mit Beispielen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Da ich mal davon ausgehe, daß das in der Schule erschöpfend behandelt wurde, und du hier unter Hochschule postest, weiß ich nicht so recht, was du noch wissen willst.

Zitat:
Original von sinachen
Ich höre immer für Stetigkeit folgende Defnition, nach dem Motto, dass wenn man die Funktion ohne Absetzen durchzeichnen kann, ist sie stetig.

Das ist zwar keine Definition, aber eine gute bildliche Interpretation.
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Kann mich leider nicht mehr dran erinnern das ich das in der Schule hatte bzw. hab zumindest da überhapt keine Ahnung mehr von.


Zitat:
Original von klarsoweit
Da ich mal davon ausgehe, daß das in der Schule erschöpfend behandelt wurde, und du hier unter Hochschule postest, weiß ich nicht so recht, was du noch wissen willst.

Zitat:
Original von sinachen
Ich höre immer für Stetigkeit folgende Defnition, nach dem Motto, dass wenn man die Funktion ohne Absetzen durchzeichnen kann, ist sie stetig.

Das ist zwar keine Definition, aber eine gute bildliche Interpretation.


Ja, aber ich kann doch keine Funktion durchzeichnen, wenn sie nicht an allen Stellen definiert ist oder wie ist das gemeint?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Es ist aber möglich, daß eine Funktion an allen Stellen definiert ist, du aber den Graphen trotzdem nicht mit einem Strich ohne abzusetzen zeichnen kannst.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Veranschaulichung ist zwar manchmal ganz schön, aber in einigen Fällen auch einfach verwirrend! Also beziehe dich einfach lieber immer auf die Stetigkeitsdefinition. Darum geht es in der Mathematik und nicht um viel zu ungenaue, anschauliche Formulierungen.
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Diese Veranschaulichung ist zwar manchmal ganz schön, aber in einigen Fällen auch einfach verwirrend! Also beziehe dich einfach lieber immer auf die Stetigkeitsdefinition. Darum geht es in der Mathematik und nicht um viel zu ungenaue, anschauliche Formulierungen.


Könnte mir jemand denn diese Stetigkeitsdefinition erklären, hab sie mir zwar jetzt schon ein paar Mal im Internet durchgelesen, aber verstehe sie noch nicht so ganz, deswegen würde es mich freuen wen sie jemand möglichst einfach erklärt.
Am besten noch anhand eines Beispiels oder warum zum Beispiele folgendes gilt:
Nach dem Satz 11.31 (Stetigkeit und algebraische Rechenoperationen) sind alle Funktionen f1, f2, f3
und f4 stetig in ihren Definitionsbereichen, weil die Polynome, dieWurzelfunktion, die Exponentialfunktion
und der Logarithmus stetig sind.

Danke! Freude
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir eine Glaskugel, oder warum verrätst du uns nicht, was f1, f2, f3, f4 für Funktionen sein sollen?

Also: Die formale Definition in den Einführungsvorlesungen ist ja folgende:
Eine Funktion mit ist im Punkt stetig, falls gilt: Für jede konvergente Folge gilt
heißt stetig, falls sie in jeden Punkten stetig ist.

Nun, was ist eine solche Folge ? Wenn sie gegen ein konvergiert, heißt das, die Folgewerte nähern sich diesem Wert für große n beliebig nah an.
Was heißt die Gleichung da oben? Dass sich auch die Funktionswerte der Folge an den Funktionswert des Grenzwertes annähert. Da laut Definition IRGENDEINE Folge sein darf, ist die genaue Art und Weise der Annäherung egal.

Also (sehr) salopp: Eine Näherung für einen Punkt liefert auch eine Näherung für den Funktionswert dieses Punktes.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sinachen
Könnte mir jemand denn diese Stetigkeitsdefinition erklären, hab sie mir zwar jetzt schon ein paar Mal im Internet durchgelesen, aber verstehe sie noch nicht so ganz, deswegen würde es mich freuen wen sie jemand möglichst einfach erklärt.

Da es verschiedene Definitionen gibt, solltest du uns diejenige nennen, die du gefunden hast.
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Da es verschiedene Definitionen gibt, solltest du uns diejenige nennen, die du gefunden hast.


Einfach googlen nach Stetigkeit und dann die ersten paar Seiten die Treffer angucken Augenzwinkern

Ich versteh das einfach schon nicht mit dem Grenzwert und so, deshalb such ich nach einer Erklärung, die das alles möglichst leicht erklärt, am besten anhand eines Beispiels, wieso zum Beispiel alle e-, Wurzel-, Logarhytmusfunktionen und Polynome stetig sind
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann man dir aber nicht wirklich helfen...Man kann den formalen Stetigkeitsbegriff nicht verstehen, wenn man nicht die nötigen Grundkenntnisse über Folgenkonvergenz, oder allgemein Konvergenz, hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sinachen
Einfach googlen nach Stetigkeit und dann die ersten paar Seiten die Treffer angucken Augenzwinkern

Tut mir leid, ich suche da nicht rum. Du möchtest Hilfe haben, also stellst du hier rein, was du nicht verstehst.

Im übrigen sind Polynome, e-Funktion etc. stetig, weil bei denen die Definition der Stetigkeit erfüllt ist. (Man kann sie ja auch zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sinachen
deshalb such ich nach einer Erklärung, die das alles möglichst leicht erklärt,


Ja, dann hast du Pech gehabt. Man kann Dinge relativ einfach und relativ kompliziert erklären, aber irgendwo hat die Einfachheit nunmal ihre Grenzen.

Keiner hier wird dir eine Kindergartengerechte Definition/Erklärung von Stetigkeit geben können, denn es ist nunmal ein Begriff, der ein paar Kenntnisse voraussetzt. unglücklich
Also der Tipp: Lerne erstmal die Grundvoraussetzungen, dann kannst du dich mit Stetigkeit beschäftigen.

air
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Also der Tipp: Lerne erstmal die Grundvoraussetzungen, dann kannst du dich mit Stetigkeit beschäftigen.

air


Die da wären?

Also was Konvergenz ist weiss ich zum Beispiel, aber trotzdem hilft mir das nicht so wirklich weiter...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also so drehen wir uns nur im Kreis. Du siehst im Internet eine Definition, sagst hier aber nicht, welche das ist. Da sollen wir uns bitt schön selber drum kümmern. Du zitierst aus irgendwelchen Sätzen und wir sollen mit den aus dem Zusammenhang gerissenen Aussagen etwas anfangen können. Also du solltest möglichst bald genau darstellen, was du an welcher Definition nicht verstehst. Momentan bin ich fast geneigt, diesen Thread wegen ungenügender Beteiligung des Threaderstellers zu schließen.
sinachen Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann mal eine Definition die ich komplett nicht verstehe:

Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x0.
Dann nennt man die Stelle x0 stetig, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Die Stelle x0 im Definitionsbereich von f(x) liegt

Der Grenzwert (limes) an der Stelle x0 vorhanden ist
(d.h. linksseitiger Grenzwert= rechtsseiter Grenzwert)

An der Stelle x0 der Grenzwert (limes) mit dem
Funktionswert f(x0) übereinstimmt:


Für die Endpunkte des Definitionsbereiches gilt:

Einen Endpunkt des Definitionsbereiches nennt man stetig,
wenn der einseitige Grenzwert gebildet werden kann,
und mit dem Funktionswert übereinstimmt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sinachen
Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x0.
Dann nennt man die Stelle x0 stetig, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Genauer: dann nennt man die Funktion f(x) an der Stelle x_0 stetig, wenn ...

Dahinter steckt der folgende Gedanke: wenn man mit dem x beliebig nahe Richtung x_0 wandert, dann wandern die zugehörigen Funktionswerte Richtung f(x_0). Da du ja weißt, was Konvergenz ist, dürfte das ja kein Problem sein.
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