Lineare Abbildungen und MAtrizen

04.12.2008, 17:00

DElta

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Lineare Abbildungen und MAtrizen

hallo mein aufgabe ist
betrachten wir C² als C-Vektorraum.Wir definieren eine lineare Abbildung fa: C²-->C² durch Angabe der Matrix A als
A=(i -i )
(0 1+i)
Identifizieren sie C² mit R^4 und geben sie f in Matrischreibweise als Abbildung f:R^4-->R^4 an.
also mein problem ist ich weiß schon gar nicht genau was ich machen soll, soll ich jetzt die zugehörige MAtrix von R^4 finden oder wie ist das und wenn ja wie mach ich das
danke für die hilfe im voraus

04.12.2008, 21:18

Reksilat

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RE: Lineare Abbildungen und MAtrizen
Zuerst musst Du eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ finden, wenn Du es als vierdimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum siehst.

Ansonsten:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} i & -i \\ 0 & 1+i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]A=\begin{pmatrix} i & -i \\ 0 & 1+i \end{pmatrix}[/latex]

Man kann hier auch viel ohne Latex anfangen, aber Matrizen sind in Deiner Schreibweise echt unübersichtlich. unglücklich

unglücklich

Schwer ist das nicht.

04.12.2008, 21:29

DElta

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RE: Lineare Abbildungen und MAtrizen
ok danke für den tipp mit dem latex
und was mach ich dann wenn ich eine basis im C² gefunden habe

04.12.2008, 21:33

Reksilat

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RE: Lineare Abbildungen und MAtrizen
Dann schaust Du, wie A diese Basis abbildet. geschockt

geschockt

Finde doch erst mal die Basis.

04.12.2008, 21:47

DElta

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ok ehrlich gesagt hab ich keine ahnung wie finde ich denn eine basis in C²

04.12.2008, 22:01

Reksilat

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Also $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^1 \end{eqnarray*}$ hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum die Basis {1}, denn
$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}=\{c\cdot 1|c\in \mathbb{C}\} \end{eqnarray*}$
Als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ dagegen die Basis {1,i}, denn
$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}=\{a\cdot 1+b\cdot i|a,b\in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum die Basis {(1,0),(0,1)}, wie sieht nun eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum aus?

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04.12.2008, 22:07

DElta

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vllt {(1,i),(1,i)} aber so ganz versteh ich das nicht wie sieht denn das als vektor aus damit ich schauen kann wie a die basis abbildet

04.12.2008, 22:09

Reksilat

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Vierdimensional muss die Basis schon sein. Also den Vektor (a+bi,c+di) könnte man im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ mit (a,b,c,d) identifizieren.

04.12.2008, 22:17

DElta

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wie sieht dann die basis aus ich versteh es irgendwie überhaupt nicht

04.12.2008, 22:22

Reksilat

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Dann überlege mal ein bisschen...

04.12.2008, 22:25

DElta

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hm keine ahnung vllt sowas:
{(1 0 0 0)T,(0 i 0 0)T,(0 0 1 0)T,(0 0 0 i)T}

04.12.2008, 22:59

Reksilat

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Das i ist dort nicht sehr sinnvoll.
Als R-VR hat C² z.B. die Basis {(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)}, wenn wir C² mit R^4 identifizieren, dann benötigen wir eine Vorschrift, wie wir einen Vektor mit der Darstellung (a+bi,c+di) auf einen Vektor aus dem R^4 abbilden. Eine solche habe ich oben bereits gegeben.

Der Vektor (0,i,0,0) liegt bestimmt nicht in R^4, i ist nämlich nicht reell.

Und lass Dir mal ein wenig Zeit mit der nächsten "keine Ahnung"-Antwort. Du sollst schließlich über die Bemerkungen nachdenken! Idee!

Idee!

04.12.2008, 23:18

DElta

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ja ist das dann einfach die basis { (1 0 0 0)T,(0 1 0 0)T,(0 0 1 0)T,(0 0 0 1)T}

04.12.2008, 23:43

Reksilat

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Ja, is' richtig. Du kannst aber trotzdem auch mal weiter denken.

Worauf wird nun (1,0,0,0) abgebildet?
Dazu:
- Den Vektor in die andere Schreibweise transformieren
- Die Abbildung A darauf anwenden
- Zurück in die R^4-Schreibweise transformieren

05.12.2008, 00:08

DElta

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also wenn ich den vektor wieder in C² transformiere ist das dann ja
(1 0)
wenn ich darauf A anwende (anwenden heißt doch multiplizieren oder)
dann kommt raus( i 0) und wenn ich das zurücktransformiere ist das doch (0 1 0 0) oder?
und was mach ich jetzt weiter um die aufgabe zu lösen?

05.12.2008, 00:22

Reksilat

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Schon mal nicht schlecht. Freude

Freude

Jetzt machst Du natürlich mit den anderen Vektoren Deiner Basis weiter und erstellst dann die Matrix bezüglich { (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}

05.12.2008, 00:36

DElta

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also ich hab das jetzt mal für die anderen drei gemacht und hab folgendes raus wenn ich
(i 0)nehme kommt am schluss raus (-1 0 0 0)
(0 1) nehme kommt am schluss raus (0 -1 1 1)
(0 i)nehme kommt am schluss raus (0 1 1 1)
und wie erstelle ich damit jetzt genau die matrix

05.12.2008, 00:51

Reksilat

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In die erste Spalte kommt das, auf was der erste Vektor abgebildet wird, also (0,1,0,0), u.s.w.
Der letzte Vektor wird übrigens auf (1,0,-1,1) abgebildet (nachrechnen!), der Rest ist OK.

05.12.2008, 00:57

DElta

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alles klar und somit ist die aufgabe dann fertig?
ich danke dir vielmals für deine Hilfe besonderst um diese späte uhrzeit

05.12.2008, 01:16

Reksilat

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Du hast C² mit R^4 identifiziert und die Matrix bestimmt, also fertig.

Und denke daran, dass Du durch eigene Ansätze weitaus umfangreichere Informationen durch die Helfer bekommst. Dann hilft man nämlich gerne.
(Steigt glaub' ich exponentiell.)

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