polarisationsformel

04.12.2008, 19:24

chrissi88

polarisationsformel

Hallo
Aufgabe:

Beweisen Sie die Polarisationsformel. Beweisen Sie also, dass

$\begin{eqnarray*} <z,w>=\frac{1}{4}(\|z+w \parallel^2-\|z-w \parallel^2)+\frac{i}{4}(\|z+iw \parallel^2-\|z-iw \parallel^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall z,w \in~\mathbb C \end{eqnarray*}$

ein Skalarprodukt definiert, falls $\begin{eqnarray*} \|\cdot \parallel \end{eqnarray*}$ die Parallelogrammidentität erfüllt.

Das ist die Aufgabe smile

Ich schick gleich schon mal meine eigenen Gedanken.
gruß chrissi

04.12.2008, 19:29

Dual Space

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RE: polarisationsformel

Zitat:

Original von chrissi88
Ich schick gleich schon mal meine eigenen Gedanken.

Na lass mal sehen. Augenzwinkern

04.12.2008, 19:41

chrissi88

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polarisationsformel
So hier meine Gedanken:

Ich hab dies ersteinmal aufgespaltet ind

1)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(\|z+w \parallel^2-\|z-w \parallel^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(<z,z>+<w,w>+<z,w>+<w,z>)-(<z,z>+<w,w>-<z,w>-<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(<z,z>+<w,w>+<z,w>+<w,z>-<z,z>-<w,w>+<z,w>+<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(2<z,w>+2<w,z> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}<z,w>+\frac{1}{2}<w,z> \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(\|z+iw \parallel^2-\|z-iw \parallel^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>+i^2<w,w>+i<z,w>+i<w,z>)-(<z,z>+i^2<w,w>-i<z,w>-i<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>-<w,w>+i<z,w>+i<w,z>-<z,z>+<w,w>+i<z,w>+i<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(2i<z,w>+2i<w,z> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{i}{2}<z,w>-\frac{i}{2}<w,z> \end{eqnarray*}$

Wenn man nur 1) und 2) addiert kommt null heraus und nicht $\begin{eqnarray*} <z,w> \end{eqnarray*}$

kann mir jemand helfen?
Ich weiß echt nicht was ich falsch gemacht habe.
Danke schonmal.
Liebs grüßle chrissi.

04.12.2008, 19:54

chrissi88

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polarisationsformel
So hier meine Gedanken:

Ich hab dies ersteinmal aufgespaltet ind

1)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(\|z+w \parallel^2-\|z-w \parallel^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(<z,z>+<w,w>+<z,w>+<w,z>)-(<z,z>+<w,w>-<z,w>-<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(<z,z>+<w,w>+<z,w>+<w,z>-<z,z>-<w,w>+<z,w>+<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(2<z,w>+2<w,z> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}<z,w>+\frac{1}{2}<w,z> \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(\|z+iw \parallel^2-\|z-iw \parallel^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>+i^2<w,w>+i<z,w>+i<w,z>)-(<z,z>+i^2<w,w>-i<z,w>-i<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>-<w,w>+i<z,w>+i<w,z>-<z,z>+<w,w>+i<z,w>+i<w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(2i<z,w>+2i<w,z> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{2}<z,w>-\frac{1}{2}<w,z> \end{eqnarray*}$

Wenn man nun 1) und 2) addiert kommt null heraus und nicht $\begin{eqnarray*} <z,w> \end{eqnarray*}$

habs kurz nochmal geschickt da ich die letzte Zeile Falsch abgeschrieben hatte Augenzwinkern

Sorry.

04.12.2008, 20:08

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} <z,\lambda w> = \overline\lambda <z,w>. \end{eqnarray*}$

04.12.2008, 23:15

chrissi88

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polarisationsformel
was heißt des wenn des lambda so aussieht $\begin{eqnarray*} \overline\lambda \end{eqnarray*}$
oder jetzt in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \overline i \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2008, 00:00

Metaphysika

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Hallo,

Der Strich über dem "i" bedeutet, dass es sich um das komplexe Konjugat handelt

LG

PS: auch Uni Stuttgart?

05.12.2008, 00:01

chrissi88

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polarisationsformel
ja auch uni stuttgart Augenzwinkern

ja aber was heißt des jetzt? des hab ich net verstanden!
liebs grüßle

05.12.2008, 00:28

Metaphysika

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Hallo,

eine allgemeine komplexe zahl sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} (x+iy) \end{eqnarray*}$

das Konjugat ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} (x-iy) \end{eqnarray*}$

nun zu der konkreten Zahl:

$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ enstpricht ja der Zahl $\begin{eqnarray*} 0+i*1 \end{eqnarray*}$

wenn man die jetzt komplex konjugiert, erhält man: $\begin{eqnarray*} 0-i*1 \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ das gesuchte, komplexe Konjugat.

Aber eigentlich hättest du das auch im Mitschrieb der Vorlesung nachschlagen können Lehrer

LG und gute Nacht
Metaphysika

05.12.2008, 07:50

chrissi88

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polarisationsformel
Ist dann die Lösung meines 2)

$\begin{eqnarray*} \frac{i}{4}(<z,z>+i^2<w,w>+\overline i <z,w> +\overline i<w,z>) -(<z,z>+i^2 <w,w> +\overline i <z,w>+ \overline i <w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>-<w,w>- <z,w> - <w,z>) -(<z,z>- <w,w> - <z,w> - <w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4}(<z,z>-<w,w>- <z,w> - <w,z> -<z,z>+ <w,w> + <z,w> - <w,z>) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{i}{4} \cdot 0= 0 \end{eqnarray*}$

wenn dann nun die zweite gleichung null ergibt, dann folgt ja wenn man die erste nun zusammenfasst,also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}<z,w> +\frac{1}{2}<w,z>=<z,w> \end{eqnarray*}$

05.12.2008, 07:51

chrissi88

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polarisationsformel
ist alles nun richtig?

05.12.2008, 08:03

Metaphysika

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Hallo,

nein, ich denke nicht, denn du darfst die Komponenten in der Klammer nicht ohne weiteres vertauschen, da es sich um komplexe zahlen handelt. (Du müsstest wieder ein komplexes Konjugat bilden)

Außerdem- bei mir wird die zweite Klammer auch nicht Null, wenn ich sie zusammenfasse... bei mir bleibt ein Rest

Ich muss jetzt leider an die Uni

LG

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