Maximum eines Produktes

05.12.2008, 12:59

Liz2103

Maximum eines Produktes

Hallo Leute!

Ich weiß zwar nicht ob ich dieses Problem jetzt ins richtige Forum gestellt habe?!! Naja, ansonsten bitte ich die Admins um Verständnis und Verschiebung in die richtige Abteilung.

Ich habe drei Zahlen gegeben: $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta ,\gamma \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich ausrechnen bei welchen Zahlen das Maximum liegt, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta +\gamma =180 \end{eqnarray*}$

Ich habe schon überlegt, das $\begin{eqnarray*} \alpha =\beta =\gamma =60 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit ich das maximum bekomme. Allerdings hänge ich jetzt ein bisschen, bei der Frage wie sich das beweisen lässt. Wenn mir jemand von euch einen Denkanstoß geben könnte wäre das toll! Vielen Dank

05.12.2008, 13:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
Nun möchte ich ausrechnen bei welchen Zahlen das Maximum liegt, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta +\gamma =180 \end{eqnarray*}$

Maximum wovon? verwirrt

05.12.2008, 13:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maximum eines Produktes
Ehrlich gesagt verstehe ich die Frage nicht. Was ist gegeben und was ist gesucht? verwirrt

05.12.2008, 13:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß Überschrift könnte man raten, dass das Maximum des Produktes $\begin{eqnarray*} \alpha\beta\gamma \end{eqnarray*}$ gemeint ist. In dem Fall hilft einfach AMGM.

05.12.2008, 13:17

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant wäre ja auch noch, ob die Winkel(??) alle positiv sein sollen.

05.12.2008, 13:41

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ sind per Bezeichnung Dreieckswinkel und damit positiv. Big Laugh

Für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ macht die Frage nach dem Maximum ja auch wenig Sinn, da dieses dann nicht existiert - aber wem erzähl ich das. Augenzwinkern

05.12.2008, 13:46

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lausche dir gern. Blumen

05.12.2008, 14:19

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr seid echt gut!

Erst mal eine dicke Entschuldigung!! Ich suche natürlich das maximum von dem Produkt $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\beta\cdot\gamma \end{eqnarray*}$ und es geht um ein Dreieck! Also die Ursprüngliche Aufgabe war, zu beweisen, das in jedem beliebigen Dreieck gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\cdot\sin(\gamma)\le\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8} \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich wann die Gleichheit gilt! Wenn alle Winkel gleich groß sind (also alle 60°)! Nu muss ich noch beweisen, das das Produkt nur kleiner werden kann, ich dachte dann würde es reichen das Produkt $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\beta\cdot\gamma \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Ist jetzt die Aufgabe klarer formuliert?

Vielen Dank für eure Hilfe, trotz der missglückten fragestellung!

05.12.2008, 14:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
Ist jetzt die Aufgabe klarer formuliert?

Jetzt ist sie überhaupt erstmal formuliert - danke! Augenzwinkern

Eine Frage: Sagt dir die "Jensensche Ungleichung" was?

05.12.2008, 14:41

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt Nein unglücklich

Ich hab mal schnell gegoogelt, was diese Ungleichung besagt. Auf den ersten Blick habe ich noch keinen Zusammenhang mit meiner Aufgabe gefunden. Allerdings habe ich wie gesagt auch nur kurz raufgeschaut. War denn mein Ansatz falsch, bzw. unnötig? Also reicht es wenn ich, von hier aus mit der Jensenschen Ungleichung daran gehe, oder sollte ich meinen Ansatz nocheinmal komplett verwerfen?

Danke!

05.12.2008, 14:43

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
War denn mein Ansatz falsch

Dazu müsstest du deinen Ansatz erstmal nennen - ich sehe hier im Thread noch keinen.

05.12.2008, 14:54

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Mein Ansatz war der, das ich weiss, wann die Gleichheit besteht. Nämlich wenn alle Winkel gleich groß sind. Demzufolge muss ich nur noch zeigen, das das Produkt, von $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\cdot\sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ immer kleiner werden muss, egal wie ich meine Winkel wähle (ausgenommen alle Winkel sind gleichgroß). Daraus leite ich jetzt ab, das ich nur noch zeigen muss, das $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot\beta\cdot\gamma \end{eqnarray*}$ immer kleiner als $\begin{eqnarray*} 60^3 \end{eqnarray*}$ sein muss. Denn Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sind immer streng monoton steigend, dann wäre die Aufageb bewiesen. Ähm, war mein ansatz jetzt verständlich??

05.12.2008, 14:57

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein "nur" in allen Ehren, aber ich sehe bisher nur eine bloße Ergebnisspekulation $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ ohne jede stichhaltige Begründung (ein paar Werte ausprobieren zählt nicht). Das ist leider weit entfernt von einem erfolgversprechenden Ansatz.

Ich sammle nochmal meine Hinweise:

(1) AMGM - ja, der Tipp gilt nach wie vor!

(2) Jensensche Ungleichung, bezogen auf die im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ konkave Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

05.12.2008, 15:00

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.
Vielen Dank!
Ich werde mich jetzt erstmal erneut mit der Aufgabe und deinen Tipps beschäftigen. Sollte ich noch ein vorzeigbares ergebnis erzielen, sag ich bescheid smile

05.12.2008, 15:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Wege führen nach Rom: Eine weitere Möglichkeit wäre ein indirekter Beweis, ohne Jensensche Ungleichung und AMGM, aber mit Additionstheoremen der Winkelfunktionen:

Dazu nehmen wir an, dass das Maximum in einem nichtgleichseitigen Dreieck erreicht werden kann, o.B.d.A. gelte da $\begin{eqnarray*} \alpha\neq\beta \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man zeigen, dass in einem Dreieck mit den Winkeln $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\beta}{2},\gamma \end{eqnarray*}$ ein größeres Sinusprodukt erreicht werden kann, Widerspruch.

Dazu wäre dann lediglich

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)\sin(\beta) < \sin^2\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \end{eqnarray*}$

nachzuweisen.

EDIT: Mir fällt noch eine dritte Variante ein, die allerdings nur eine Verkürzung der ersten Variante ist:

Direkt Jensensche Ungleichung, bezogen auf die im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\pi) \end{eqnarray*}$ konkave Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ . Hier erübrigt sich dann AMGM.

Na, wenn das keine Auswahl ist. Big Laugh

05.12.2008, 15:41

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

cool! Vielen Dank!!!
Also die zweite Lösung gefällt mir bis jetzt am besten. Wobei ich deinen Ansatz nicht ganz verstanden habe. Du nimmst an, das das dreieck nicht gleichseitig ist, aber das Maximum des Produktes ist. Nun versuchst du einen Widerspruch herbeizuführen. Dann hat man gezeigt, das das Maximum im gleichseitigen Dreieck liegt. Da dann die die Gleichheit gilt, muss die Ungleichung auch gelten.
Soweit richtig verstanden?

Nun suchen wir ein Dreieck, für welches das Produkt größer ist, als in einem nicht gleichseitigen dreieck. Richtig? dafür nehmen wir der einfachheithalber das dreieck, mit den winkeln: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\beta}{2},\gamma \end{eqnarray*}$

Ist das schoneinmal richtig verstanden?

05.12.2008, 15:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
Du nimmst an, das das dreieck nicht gleichseitig ist, aber das Maximum des Produktes ist.

Richtig: Ich will beweisen, dass das Maximum nur im gleichseitigen Dreieck auftritt - und in einem indirekten Beweis will man das Gegenteil davon (also Maximum in einem nichtgleichseitigen Dreieck) zum Widerspruch führen.

Zitat:

Original von Liz2103
dafür nehmen wir der einfachheithalber das dreieck, mit den winkeln: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\beta}{2},\gamma \end{eqnarray*}$

Nicht nur "der Einfachheit halber", sondern weil es eben so schön klappt. Was natürlich noch nachzuweisen ist.

05.12.2008, 16:43

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

also mein Lösungsversuch:

Annahme:

$\begin{eqnarray*} Max(\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma) \end{eqnarray*}$ wobei, $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta +\gamma=180 \end{eqnarray*}$ ° liegt in einem nicht gleichseitigem Dreieck.

O.B.d.A $\begin{eqnarray*} \alpha\ne\beta \end{eqnarray*}$

Nehme ein Dreieck, mit den Winkeln: $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+\beta}{2},\frac{\alpha+\beta}{2},\gamma \end{eqnarray*}$

z.Z. $\begin{eqnarray*} \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma>\sin(\frac{\alpha +\beta}{2})\cdot\sin\gamma \end{eqnarray*}$

Mithilfe der Additionstheoreme ergibt sich, folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha -\beta)>1 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Widerspruch zur Annahme! Da der cosinus nicht größer als eins werden kann. Somit liegt $\begin{eqnarray*} Max(\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma) \end{eqnarray*}$ in einem gleichseitigen Dreieck.
Da die Winkel alle 60° betragen, heisst das:

$\begin{eqnarray*} \sin(60°)^3=\frac{3\sqrt{3}}{8} \end{eqnarray*}$

somit muss die Ungleichung gelten!

Falls du hier jetzt noch Fehler entedeckst, sag bitte bescheid. Und ganz lieben Dank für deine Hilfe!

05.12.2008, 19:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
z.Z. $\begin{eqnarray*} \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma>\sin(\frac{\alpha +\beta}{2})\cdot\sin\gamma \end{eqnarray*}$

Nein, zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} \sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma < \sin^2(\frac{\alpha +\beta}{2})\cdot\sin\gamma \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Liz2103
Mithilfe der Additionstheoreme ergibt sich, folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha -\beta)>1 \end{eqnarray*}$

Hmm, kannst du das mal näher ausführen? Ich sehe das nicht, vielleicht bin ich nur zu blind - aber ich lass mich gern überzeugen. Augenzwinkern

EDIT: Ok, mit dem anders herum gedrehten Relationszeichen kommt es hin.

06.12.2008, 12:01

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, da hab ich natürlich das quadrat vergessen.
(Dann war auch meine Umformung verständlich oder?)
Eine kleine Frage hab ich aber dennoch.

Muss ich noch beweisen, das es ein MAximum für das Sinusprodukt geben muss. Also die Existenz beweisen. Oder ist das so jetzt in Ordung. Denn die Frage ist mir zwischendrin gekommen. Wobei ich nicht so genau weiss, ob das nicht durch die Voraussetzung es ist ein beliebiges Dreieck, schon voraussetzt, das es ein solches Supremum gibt.

LG

12.12.2008, 16:07

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja! Das war leider nichts....
Meine Dozentin meinte, der Beweis wäre ganz nett, aber ich solle doch bitte die Jensensche Ungleichung verwenden! Das habe ich getan. Zudem auch die Ungleichung von arithmetischen udn geometrischen Mittel. Leider bin ich da jetzt stecken geblieben. Ich wollte das ganze so schön über die Transitivität beweisen. Leider bekomme ich keine "Ungleichungskette" hin.

Es wäre schön wenn du mir vielleicht nochmal eine kleine Hilfe geben könntest. Dankeschön

12.12.2008, 16:11

Auf diesen Beitrag antworten »

Variante 1 oder 3?

Beide mit Jensen, aber Variante 1 benötigt zusätzlich AMGM, was bei 3 unnötig ist.

12.12.2008, 16:14

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich wäre sowas von froh wenn ich da eine lösung rausbekomme, da ist mir das fast schon egal. also AMGM hab ich jetzt schon versucht in den Beweis einzubauen, also wäre es vielleicht schon am besten die Variante zu benutzen.

12.12.2008, 16:20

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier mein ansatz:

Also zu Hilfe nehmen wir uns die Jensensche Ungleichung für n=3 und konkave Funktionen (Sinus ist von 0-180° konkav):

( f(a)+f(b)+f(c) )/3 <= f( (1/3) * (a+b+c) )

und die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:

GeoMittel <= ArithMittel

(x*y*z)^(1/3) <= (x+y+z)/3

Setzen wir unsere Werte ein, erhalten wir zwei Ungleichungen:

I. ( sin(a)+sin(b)+sin(c) )/3 <= sin(60°)

II. (sin(a)*sin(b)*sin(c))^(1/3) <= ( sin(a)+sin(b)+sin(c) )/3

Also haben wir:

(sin(a)*sin(b)*sin(c))^(1/3) <= ( sin(a)+sin(b)+sin(c) )/3 <= sin(60°)

Ich glaube über diesen Weg kann man auch an das Ziel kommen, allerdings weiß ich noch nicht weiter. Vielleicht übersehe ich auch einfach was!?

12.12.2008, 16:32

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liz2103
Also haben wir:

(sin(a)*sin(b)*sin(c))^(1/3) <= ( sin(a)+sin(b)+sin(c) )/3 <= sin(60°)

Richtig.

Jetzt hast du 99% des Weges geschafft und weißt nicht mehr weiter? Einigermaßen erstaunlich!

Wie wäre es denn mit $\begin{eqnarray*} \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen und die ganze Ungleichung in die dritte Potenz zu erheben? Augenzwinkern

12.12.2008, 16:37

Liz2103

Auf diesen Beitrag antworten »

omg.

Wie dämlich!!! Na vielen Dank für deine hartnäckigen Bemühungen. Keine Ahnung wieso ich da ein Brett vorm Kopf hatte. Ich wünsche Dir ein schönes Wochenende!

LG

12.12.2008, 16:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abrundung wegen auch noch den 3.Weg:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} (0,\pi) \end{eqnarray*}$ definiert und dort auch konkav, wie man an

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}, \quad f''(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)} < 0 \end{eqnarray*}$

sehen kann. Also folgt nach Jensen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left[ \ln(\sin(\alpha)) + \ln(\sin(\beta)) + \ln(\sin(\gamma)) \right] \leq \ln\left(\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right) \right) = \ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Mit 3 multipliziert und delogarithmiert ergibt sich direkt

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) \leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8} \end{eqnarray*}$ .

Das AMGM ist sozusagen in dem zusätzlichen $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ versteckt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Maximum eines Produktes

Verwandte Themen