Stammfunktion: x^2*ln(x)

05.12.2008, 14:59	rawsoulstar	Auf diesen Beitrag antworten »
*Stammfunktion: x^2ln(x)** Tag beisammen, ich möchte die Stammfunktion der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2\ln x \end{eqnarray}$ berechnen. Mein Ansatz über die partielle Integration steht direkt hier unten, allerdings bietet mir Maxima eine andere Lösung. Wer den Fehler findet und mir hilft, bekommt einen virtuellen Gummpunkt oder alternativ einen Keks von mir $\begin{eqnarray} \int x^{2}\ln xdx&=&\left[x^{2}\left(x\ln x-x\right)\right]-\int2x\left(x\ln x-x\right)dx\\&=&\left[x^{2}\left(x\ln x-x\right)\right]-\int2x^{2}\ln x-2x^{2}dx\\&=&\left[x^{2}\left(x\ln x-x\right)\right]-\int2x^{2}\ln xdx-\int2x^{2}dx\\&=&\left[x^{2}\left(x\ln x-x\right)\right]-\int2x^{2}\ln xdx-\frac{2}{3}x^{3}\\&=&\left[x^{2}\left(x\ln x-x\right)\right]-\left(2x^{2}\left(x\ln x-x\right)-4x\left(x\ln x-x\right)\right)-\frac{2}{3}x^{3}\\&=&x^{3}\ln x-x^{3}-2x^{3}\ln x+2x^{3}-4x^{2}\ln x+4x^{2}\\&=&x^{2}\left(-x\ln x+x-4\ln x+4\right) \end{eqnarray}$ LG und danke für's Anschauen, Frank.
05.12.2008, 15:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Stammfunktion: x^2ln(x)** Ich hätte die andere Variante der partiellen Integration gewählt, nämlich die, wo ln(x) abgeleitet und nicht integriert wird. Von daher mache ich mir jetzt nicht die Mühe, die Rechnung zu verstehen.
05.12.2008, 15:21	rawsoulstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp hat bestens geholfen! Auch wenn du keine Fehler gefunden hast, den Keks gibt's trotzdem: http://www.gegenlesen.de/wordpress/images/annika_mit_keks_20050921.jpg So sieht es jetzt aus, und es scheint korrekt zu sein: $\begin{eqnarray} \int x^{2}\cdot\ln x\, dx=\int\ln x\cdot x^{2}\, dx&=&\ln x\cdot\frac{1}{3}x^{3}-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{3}x^{3}\, dx\\&=&\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\int\frac{1}{3}x^{2}\, dx\\&=&\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{9}x^{3}\\&=&\frac{1}{3}x^{3}\left(\ln x-\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray}$
05.12.2008, 15:53	golbi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Du hast nur die Konstante vergessen
05.12.2008, 20:58	rawsoulstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Du redest von einer absoluten Konstante, die den Graph der Stammfunktion nach oben / unten verschiebt? Denn uns wurde beigebracht, dass diese für die Berechnung von Flächen wegfällt und somit irrelevant ist ( $\begin{eqnarray} \intop_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ ).
05.12.2008, 21:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt auch, für die Flächenberechnung ist die Konstante egal. Aber wir konnten ja nicht ahnen dass du eine Fläche ausrechnen willst, da du nur vom Finden der Stammfunktionen geschrieben hast. Ausserdem hast du ein unbestimmtes Integral geschrieben und das deutet an, dass man die Menge der Stammfunktionen sucht und da spielt die Konstante durchaus eine Rolle.
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06.12.2008, 00:13	rawsoulstar	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, es geht hier nur um die Stammfunktion. Danke für den Hinweis!

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