Grenzwert von Reihen

05.12.2008, 15:49

Jule23

Grenzwert von Reihen

Hallo, es handelt sich um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{3^k}{7^{k-1}} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^k+4}{5^k} \end{eqnarray*}$

Wenn da steht bestimmen sie die Grenzwerte, heißt das dann ich soll nur den Grenzwert herausbekommen oder soll ich auch noch zeigen dass es überhaupt konvergiert?

Nun ich bin bei der a) so vorgegangen:

Ich nehme das Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{k+1}\cdot 7^{k-1}}{3^k\cdot 7^k}=\left(\frac{3}{7}\right)^k<1 \end{eqnarray*}$ Folgt hier raus schon, dass die Reihe konvergiert?

Nun ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{7}\right)^k\rightarrow \frac{1}{1-\frac{3}{7}}=\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \frac{3}{7}<1 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

Bei der 2ten Reihe, weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll: Es sieht nach einer alternierenden Reihe aus: Eine Möglichkeit wäre vielleicht zu zeigen, dass die alternierende Reihe eine Majorante dieser Reihe ist, nur weiß ich nicht wie ich das machen soll.
Was könnt ihr mir da empfehlen?

Danke

05.12.2008, 16:05

Jule23

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RE: Grenzwert von Reihen
Ich hab noch eine andere Alternativen Weg, weil ich glaube das falsch gemacht zu haben.

Nun nach dem anwenden des Quotientenkriteriums bekam ich:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{3}{7}\right)^k\Rightarrow \lim_{k \to \infty} \left(\frac{3}{7}\right)^k \rightarrow 0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe konvergent:

Jetzt schau ich mir die Reihe an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{3^k}{7^{k-1}} =\sum_{k=1}^\infty~7\cdot \left(\frac{3}{7}\right)^k =7\cdot\sum_{k=1}^\infty~ \left(\frac{3}{7}\right)^k=7\cdot \left(\frac{1}{1-\frac{3}{7}}-1\right)=7\cdot \frac{3}{4}=\frac{21}{4} \end{eqnarray*}$

Das sollte der Grenzwert sein, oder?

05.12.2008, 17:03

axelt

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Ist so richtig. Oben im ersten Post war eben falsch das du den Grenzwert der Reihe bestimmt hast statt der Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{7})^n \end{eqnarray*}$ aber das hast du ja jetzt selbst korrigiert.

05.12.2008, 17:28

Jule23

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Ok, danke.
Wie berechne ich den Grenzwert der zweiten Reihe und war es bei der ersten Reihe überhaup notwendig, durch das Quotientenkriterium zu zeigen, ob es konvergent ist?
Ich meine ich hätte direkt den Grenzwert der geometrischen Reihe berechnen können oder nicht?

Bei der zweiten Reihe habe ich mir jetzt folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} S_T=\sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^k+4}{5^k}= \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^k}{5^k}+ \sum_{k=1}^\infty~\frac{4}{5^k} =S_A+S_B \end{eqnarray*}$

Nun berechne ich den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{4}{5^k}=4\cdot \sum_{k=1}^\infty~\left(\frac{1}{5}\right)^k=4\cdot\left(\frac{1}{1-\frac{1}{5}}-1\right)=1 \end{eqnarray*}$

Zu der anderen Reihe, weiß ich nur dass es konvergiert, denn eine alternierende Folge die monoton fallend ist, konvergiert, nur weiß ich gerade nicht wie ich an den Grenzwert komme, bzw. ihn berechne.

Danke

05.12.2008, 17:33

kiste

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$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k}{5^k} = \left(\frac{-1}{5}\right)^k \end{eqnarray*}$ also wieder geom. Reihe.

05.12.2008, 17:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jule23
Ich meine ich hätte direkt den Grenzwert der geometrischen Reihe berechnen können oder nicht?

Ja.

05.12.2008, 17:44

Jule2

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@Kiste genauso habe ich mir das gedacht, allerdings haben wir die geometrische Reihe so definiert, dass $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ sein muss und einmal $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ und für zweiteres dürfte ich das ja.

Also gilt für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} -1<q<1 \end{eqnarray*}$ ?

War wohl ein Schreibfehler meines Profs.

Danke

05.12.2008, 18:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jule2
Also gilt für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} -1<q<1 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, für diese q konvergiert sie.

05.12.2008, 18:33

WebFritzi

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Um es nochmal klarzustellen: Das Quotientenkriterium ist hier fehl am Platze, da man eh schon weiß, dass geometrische Reihen mit -1 < q < 1 konvergieren.

05.12.2008, 19:58

Jule23

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@WebFritzi

Darüber waren wir uns schon einig, aber trotzdem danke nochmal für die Aufmerksamkeit Wink

06.12.2008, 06:20

WebFritzi

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Oh ok, sorry. Augenzwinkern

06.12.2008, 20:35

axelt

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Passt gerade zum Thema, noch einmal eine Frage zur allgemeinen Bestimmung von Grenzwerten von Reihen:

Die einzige Möglichkeit die ich bisher kenne, ist über die geometrische Reihe. Irgendwo habe ich jetzt noch aufgeschnappt, dass z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(-1)^k \cdot \frac{1}{k} = ln(2) \end{eqnarray*}$

Gibt es noch mehr solche "Standard"-Grenzwerte (abgesehen von vlt. noch e?

Zum Beispiel hätte ich keine Ahnung wie ich folgende zwei Grenzwerte bestimmen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} }=\sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{n(n-1)}=... \end{eqnarray*}$

Oder wie kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k+3}{k(k+1)(k+2)}=...=\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Und zuletzt noch: Beim oberen meiner beiden Beispiele, bezüglich des Konvergenznachweises: Reicht es zu sagen dass, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert --> Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert bzw. allgemein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{(n-a)^2} \end{eqnarray*}$ ?

06.12.2008, 22:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von axelt
Zum Beispiel hätte ich keine Ahnung wie ich folgende zwei Grenzwerte bestimmen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} }=\sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{n(n-1)}=... \end{eqnarray*}$

Erstmal ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{\binom n 2} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{2}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Nutze hier die Eigenschaft der Teleskopsumme: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von axelt
Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert bzw. allgemein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{(n-a)^2} \end{eqnarray*}$ ?

Abgesehen davon, daß du besser n als Summenindex nehmen solltest und daß man darauf achten muß, daß n ungleich a ist, kann man das Argument mit der Majorante prinzipiell nutzen.

06.12.2008, 23:36

axelt

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Herje, faszinierend das wir die Teleskopsumme noch nie explizit angesprochen haben, die läuft einem ja bei jeder zweiten Reihe übern weg, ich schätze bei der letzte die ich da noch stehen hatte wirds dann auch so sein, müsst ja erst noch die PBZ durchführen, später mal schaun :-)

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