Flächeninhaltsungl. von Vierecken

06.12.2008, 16:10

Liz2103

Flächeninhaltsungl. von Vierecken

Ich möchte zeigen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} A \le \frac{1}{4}(a+b)(c+d) \end{eqnarray*}$ A ist der Flächeninhalt des Vierecks.

Ich habe bereits verschiedene Methoden der Berechnung von Flächeninhalten von allg. Vierecken gefunden und diese in die Ungleichung eingesetzt. Leider ohne Erfolg...

Variante 1
Varignon-Parallelogramm: "Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen ebenen Vierecks, so entsteht ein Parallelogramm, dessen Flächeninhalt halb so groß wie der des Vierecks ist."

Variante 2 $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin(\theta) \end{eqnarray*}$ Theta ist der Winkel zwischen den Diagonalen e,f im Dreieck ABS(e,f).

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, die ich hier aber nicht aufzählen möchte. Diese beiden kam mir am "freundlichsten" vor.

Kann mir jemand einen Anstoss oder Ansatz liefern? Bitte noch keine komplette Lösung, das wäre zu langweilig.

06.12.2008, 21:19

Raumpfleger

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RE: Flächeninhaltsungl. von Vierecken

Zitat:

Original von Liz2103
Ich möchte zeigen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} A \le \frac{1}{4}(a+b)(c+d) \end{eqnarray*}$ A ist der Flächeninhalt des Vierecks.

Und a, b, c, d sind die Längen der 4 Seiten des Vierecks? Das Viereck hat zwei Diagonalen und bzgl. jeder der beiden Diagonalen kann man die Dreiecksungleichung anwenden und A sollte immer kleiner sein als der Flächeninhalt des Parallelogramms, das man mit den beiden Diagonalen bilden kann.

07.12.2008, 12:25

Liz2103

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RE: Flächeninhaltsungl. von Vierecken
Moin!

Also a, b, c, d sind die aufeinander folgenden Seiten des Vierecks und e, f die Diagonalen. Gilt die Dreiecksungleichung für die Diagonalen auch noch, wenn ich ein konvexen Viereck habe? außerdem weiss ich ja gar nicht welches die längste seite ist (oder muss das immer die diagonale sein?).

Also meinst du, meine Variante 1 scheint am erfolgsversprechendsten zu sein? Falls du noch einen klitzekleinen Tipp hast (keine Lösung) wäre das prima!

LG und vielen Dank schonma!

13.12.2008, 13:42

Raumpfleger

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RE: Flächeninhaltsungl. von Vierecken
Im Entartungsfall des Vierecks zu einem Dreieck (vgl. Bildchen) kann man diese Formel rechtfertigen:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} (a + b) d \sin\alpha = \frac{1}{2} (a + b) c \sin\gamma \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{eqnarray*} 2 A = \frac{1}{2}(a + b)(d \sin\alpha + c \sin \gamma) \end{eqnarray*}$

oder, weil der Sinus höchstens 1 werden kann

$\begin{eqnarray*} A \leq \frac{1}{4} (a + b)(c + d) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss man nur noch das B abwandern lassen ...

15.12.2008, 22:11

Raumpfleger

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RE: Flächeninhaltsungl. von Vierecken
$\begin{eqnarray*} 2 A = ef \sin\theta \leq ef \leq ac + bd\quad\mbox{(Ptolemäus)} \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung gilt auch, wenn man eine Ecke des Vierecks in die dritte Dimension erhebt und die Produkte der Längen je zweier Gegenseiten des dann entstehenden Tetraeders betrachtet (die Diagonalen e und f werden zu Seiten dieses Tetraeders).

$\begin{eqnarray*} 2 A = ad \sin\alpha + cb \sin\gamma \leq ad + cb \end{eqnarray*}$

Diese Formel enthält die Parallelogramme, die man aus den beiden Dreiecken in einem nichtüberschlagenen Viereck bilden kann, und

$\begin{eqnarray*} 4 A \leq ac + bd + ad + bc = (a + b)(c +d)\qquad\Box \end{eqnarray*}$

Der Flächeninhalt eines übeschlagenen Vierecks ist immer kleiner als der eines nichtüberschlagenen Vierecks mit gleichen Seitenlängen. Alpha ist der Winkel zw. a und d, gamma der Winkel zw. c und b, die Bezeichnungen a, b, c, d sind den Vierecksseiten im math. pos. Drehsinn zugeordnet.

16.12.2008, 07:32

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Dummerweise hat Liz wohl doppelt gepostet; die vorliegende Frage ist nämlich bereits seit dem Wochenende geklärt:

Allgemeines Viereck

Daher nachträglich eine dicke Rüge an Liz, die so gern andere belehren möchte, statt vor der eigenen Türe zu kehren...

16.12.2008, 16:01

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dummerweise hat Liz wohl doppelt gepostet; die vorliegende Frage ist nämlich bereits seit dem Wochenende geklärt:

Allgemeines Viereck

*geschlossen*

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Flächeninhaltsungl. von Vierecken

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