Kubische Gleichung, Nullstellen

Neue Frage »

chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Gleichung, Nullstellen
Hi
wir müssen bei einer Kurvendiskussion dei Nullstellen berechnen
y=x^3+x^2-x-1
wer kann mir helfen (technische hilfsmittel sind nicht erlautbt)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen

Hilf dir selbst, und fang einfach mal an.
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

angefangen habe ich bereits, ich habe es auch schon grafisch dargestellt, nur bei der berechnung komme ich leider nicht weiter unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "kubernische" (??) Gleichung?
Diese Gleichung ist symmetrisch; fasse so zusammen und klammere dann aus (binomische Formel ..):



mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeig doch mal, was du schon hast. Augenzwinkern
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

mhm, danke erstmal smile
aber wenn ich nun x heraushebe aus der einen formel ergibt dies:
(x^3-1)+x*(x-1)=0

muss ich die erste formel auch auflösen????

dann steht:
(x-1)*(x+1)*(x-1)+x*(x-1)=0

weiß ich jetzt daraus gleich dass die nullstellen 1 und -1 sind? und woher weiß ich, dass die nullstelle -1 doppelt vorkommt? oder meinen Sie, dass ich einfach ausprobieren soll?? ich meine mir ist schon klar, dass ich in diesem fall nur 1 einsetze und dann
0+0=0 rauskommt,
wenn ich aber -1 einsetze ergibt sich jedoch:
0+2=0
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

hast du falsch zerlegt! Doch schon gesagt: Binomische Formel!

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

die meisten lieben ganzzahlige Nullstellen. Ich auch. Sollte es sie geben, müssen sie Teiler des Absolutglieds sein. Also versuchen wir unser Glück mit f(1) und f(-1).









Also haben wir schon 2 Nullstellen gefunden. Und wissen, da das Polynom einen ungeraden Grad hat, dass es noch eine dritte gibt. Du kannst nun 2x Polynomdivision machen, oder das doppelte Hornerschema anwenden. [Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Falle bin ich aber GEGEN das "Probieren". Es soll sicher mittels Zerlegung gemacht werden. Der Plot wäre auch schon ein "technisches" Hilfsmittel. Höchstens Polynomdivision bei Vorliegen einer Nullstelle oder Horner ginge noch.

mY+
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

jaja, mit 1 und -1 einsetzen ist mir schon klar, ist ja auch kein problem, nachdem ich den grafen gezeichent habe, aber nehmen wir an es gäbe keinen, zufällig diese zahlen einzusetzen ist ja keine lösung oder???

die zerlegung
(X^2-1)*(x+1)+(x^2-x)=0
brignt mir wieder aber nur die lösung:
für -1 bekomme icha ber noch immer nicht null raus... ich glaube ich habe gerade eine gröbere denkblokade verwirrt

was genau meinst du mit 2 polynomdivisonen?

danke nochmals Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos
Wieso bist du gegen das Probieren? Ist doch Anwendung eines math. Satzes und systematisch. Die sind hier ja nicht geraten.

Fer Graph war hier nur zur Verdeutlichung gedacht und ist für den Test nicht notwendig.

Hat man eine Nullstelle, muss man das Polynom i.A. um einen Grad reduzieren, und dann die Nullstellen des neuen Polynoms suchen. Daher 2x PD oder 1x doppelt Horner.
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

also die PD hab ich soweit gemacht
bei der ersten division:
(x^3+x^2-x-1)unglücklich 3x^2+2x-1)=1/3x+1/9
das dividiere ich dann durch (8/9x+1/9) (=-Rest)
dann bekomme ich 3,375x+1,828125 heraus Rest: -0,8194444444 (4periodisch)
und nun?
glg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso zwei Mal PD, beim quadratischen Polynom kann man ja die quadratische Gleichung lösen?

Und für den Threadsteller:

N.S.:
@bine, mache bitte du weiter, hier ist es wirklich so, dass mehrere Köche den Brei verderben.

mY+
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht wie ich die auswertung nun machen soll...
also p0 bis p3 habe ich ja bereits berechnet aber nun....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um eines einmal klar zu stellen, hier führen mehrere Wege zum Ziel. Ich habe versucht einen aufzuzeigen, der bei solchen Aufgaben einen typischen ersten Schritt darstellt.

Man kann auch PD durch ein quadratisches Polynom machen, oder 1x PD und dann Lösungsformel. Da wir aber schon 2 Nullstellen kennen, habe ich mich eben für erste Variante entschieden.

Die PD kannst du dir hier vorrechnen lassen. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...nomdivision.htm


Chief, knall doch nicht einfach nur Variablen hin. Du willst doch auch, dass man dich versteht. geschockt
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh mich ja selbst kaum Big Laugh gg
ja die beiden divisionen habe ich jetzt nochmal berechnet und den kleinen fehler am schluss korrigiert, der rest beträgt -0,796875 also p3=0,79875
ich verstehe allerdings noch immer nicht, was ich jetzt genau mit diesen zahlen machen soll,bei dem einen link, den Sie mir geschickt haben, steht dann auswertung nach sturm im intervall 2 bis -2 aber bei mir ist ja kein intervall gegeben, oder ist die auswertung immer von 2 bis -2???
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe mir jetzt den thread auf dem link des öfteren durchgelesen, aber wie ich meine gleichung nun weiter auswerten soll weiß ich leider noch immer nicht....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein. Muss ich hier wirklich alles selbst machen?

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
(x^3  + x^2  - x  - 1) : (x + 1)  =  x^2 - 1  
 x^3  + x^2          
 ————————————————————
             - x  - 1
             - x  - 1
             ————————
                    0


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
(x^2       - 1) : (x - 1)  =  x + 1  
 x^2  - x     
 —————————————
        x  - 1
        x  - 1
        ——————
             0
 


Somit also




Edit:

Anscheinend beziehst du dich auf das doppelte Horner Schema? Schreibe doch bitte deutlich wovon du sprichst bzw. Was du tust.
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ohhhhhh
entschuldigung ich dachte man muss durch die erste ableitung dividieren
aber ich verstehe leider noch immer nicht wieso du jetzt bei beiden durch (x-1) dividierst.

nein, nein, nun, da f(x) gegeben ist, verstehe ich natürlich die lösung und auch wieso -1 zweimal eine nullstelle ist. ich dachte nur zuerst ich muss meine lösung auswerten, da ich ja durch die erste ableitung dividierte geschockt

kannst du mir bitte nur noch sagen, wieso man jetzt durch (x-1) dividert? danke vielmalsf für deine hilfe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht doch in dem Code und nennt sich Polynomdivision. Augenzwinkern

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
Wie bei der schriftlichen Division von Zahlen zieht man auch bei der Polynomdivision
vom Dividenden nach und nach passende Vielfache des Divisors ab, bis am Ende möglichst
kein Rest mehr bleibt. Dazu wird in jedem Schritt derjenige Summand des Restes elimi-
niert, bei dem x in der höchsten Potenz steht.
Die Summanden des Quotienten erhält man daher durch Division dieses Summanden der 
jeweiligen Reste durch den Summanden des Divisors mit der höchsten Potenz von x. 
In diesem Beispiel ist das x.

Betrachte den Dividenden x^2 - 1 als ersten "Rest".

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von x ist x^2.
Da x^2/x = x, ist der erste Summand des Quotienten x.
Berechne x·(x - 1) = x^2 - x
und subtrahiere dies vom letzten Rest. 
-> neuer Rest: x - 1
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die polynomdivison ist mir schon klar, ich weiß nur nicht wieso beim ersten beispiel:

(x^3 + x^2 - x - 1) : (x + 1) = x^2 - 1

durch x + 1 dividert wird und beim zweiten beispiel durch (X-1)

woher stammen diese beiden werte?

lg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1

Zitat:





Warum haben wir das wohl gemacht?
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh das heißt hier geht es nur darum festzustellen, welche der beiden doppelt ist, und nicht prinzipiell alle nulstellen zu berechnen?

und wieso x und nicht zb x^2, das würde ja bei der ersten division auch gehen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst in Rätseln... Es geht darum Nullstellen rauszufinden. Hier ergab das geschickte Probieren eben schon 2 der 3 Nullstellen.

Löse einmal:

chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

jaja, ich habe jetzt dann 2 nulstellen, also F(1) und F(-1), dann mache ich die polynomdivision (kann es aber nicht sein, dass es eine 3. nulstelle gäbe, zB 2 oder 3? dann würde die polynomdivison ja nichts bringen oder?)
ich weiß nur nicht, wieso man durch (x+1) und (x-1) dividert. hierbei ist mir klar, wieso +1 und -1, jedoch nicht, wieso x ??? ob man zuerst durch (x+1) und dann durch (x-1) dividert oder andersrum (andere Reihenfolge), müsste ja sowieso egal sein oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mach mal das neue Beispiel. Danke.

Reihenfolge der Nullstellen bei PD ist egal.

http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

bei dem beispiel sind die nullstellen dann
F(2)=0
und F(-1)=0
würde jetzt dann die divisonen lauten:

x^3+2x^2-5x-6 : x-1


und dann dann ergebnis durch x+2

???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. du hast nicht alle Teiler getestet

2. dann mach mal die PD, Probe kannst du auf der Brünner seite machen.
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ich hab -3 vergessen^^ ich dachte, es handelt sich wieder um ein so ein Beispiel, dafür habe ich nach 2 ergebnissen bereits aufgehört. Aber dividert man bei der Polynomdivision immer durch (x+1) und (x-1)??? wenn ich zB im vorigen Beispiel zuerst druch (X-1) und dann durch (x+1) dividiere, bekomme ich ein anderes Ergebnis.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kommt dann was anderes raus. Aber die Nullstellen bleiben gleich.

Nein, du teilst nur dadurch, wenn es Nullstellen sind.
chief_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke nun ist es mir klar^^
vielen dank für deine hilfe
glg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ein geschafftes Bienchen meldet sich ab. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »