Funktionseigenschaften

07.12.2008, 15:39

krümmelchen

Hab hier noch eine andere Aufgabe wo ich mir nicht ganz sicher bin ob meine Ergebnisse richtig sind. Vielleicht kann da ja mal jemand drüber fliegen und mir sagen ob das stimmt. Man sollte einfach nur den maximalen Definitionsbereich bestimmten, sagen ob die Funktion gerade oder ungerade ist und monoton steigend oder fallend.

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ :

- ungerade
- D{R}
- monoton steigend

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x-2} \end{eqnarray*}$ :

- x-3 darf nicht 0 werden, daher D {3<x<3}
- ungerade
- monoton steigend

$\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ :

- D{R}
- gerade
- im bereich von -unendlich bis 0 (x<=0) streng monoton fallend
- im bereich von 0 bis +unendlich (x>=0) streng monoton steigend

$\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ :

- D{R}
- ungerade
- streng monoton steigend

07.12.2008, 15:56

Jacques

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Hallo,

Die Eigenschaften „gerade“ und „ungerade“ hast Du noch nicht verstanden. Kannst Du die Definition wiederholen?

Ansonsten gibt es noch einige (formale?) Fehler:

Was bedeutet „D{R}“? Also ich könnte die Schreibweisen D = R und vielleicht noch D(f) = R nachvollziehen. Aber diese nicht.

Wie kommst Du bei der zweiten Funktion auf „x-3 darf nicht 0 werden, daher D {3<x<3}“? Der Radikand darf niemals negativ sein.

Der Rest stimmt.

07.12.2008, 16:16

krümmelchen

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Ja das war formal nicht richtig geschrieben. Was ich damit meinte ist dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen beinhaltet, also D=R

Und stimmt bei der zweiten Funktion. x-2 darf 0 werden, jedoch muss x >=2 sein, da eine Wurzel für einen negativen Radikanten nicht definiert ist. Also ist der Definitionsbereich D= x>=2. Habe ich das so richtig verstanden?

Und das mit dem gerade und ungerade werde ich mir dann nochmal durchlesen und versuchen das zu verstehen, dazu poste ich dann später nochmal meine Ergebnisse.

Danke schonmal Freude

07.12.2008, 17:04

krümmelchen

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Also eigentlich bin ich mir sicher, dass $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ungerade und $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ gerade ist.
Weil bei $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ gilt ja f(x)=f(-x).
Und bei $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ gilt f(x)=-f(-x). Oder liege ich da falsch?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x-2} \end{eqnarray*}$ bei der Funktion bin ich mir nicht sicher. Ist sie gerade?

Und bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hab ich leider überhaupt keine Ahnung.

07.12.2008, 18:10

Jacques

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Du müsstest formal etwas sauberer arbeiten. Z. B. redest Du dauernd von den „Funktionen“ e^x, Wurzel(x - 2) u. s. w.

Das sind aber keine Funktionen, sondern Terme. Sie treten eben bei der Zuordnungsvorschrift der jeweiligen Funktion auf.

Also korrekt wäre:

„Die Funktion f mit f(x) = e^x ist [dieses und jenes].“

oder

„Die Funktion f mit f: x --> e^x ist...“

Zitat:

Original von krümmelchen

Also ist der Definitionsbereich D= x>=2. Habe ich das so richtig verstanden?

Inhaltlich stimmt es, aber die Schreibweise ist wieder nicht richtig. D ist doch eine Menge.

Du kannst schreiben

$\begin{eqnarray*} D = [2; +\infty[ \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} D = \{x \in \mathbb{R} \,|\, x \geq 2 \} \end{eqnarray*}$

Aber „D= x>=2“ ergibt keinen Sinn.

Zu gerade/ungerade:

Eine Funktion f ist genau dann gerade, wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

(1) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} -x \in D \end{eqnarray*}$

(in Worten: Jedes Element der Definitionsmenge muss auch mit umgekehrten Vorzeichen in D liegen.)

(2) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt: f(x) = f(-x)

(in Worten: Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse)

Die erste Bedingung wird häufig vergessen, aber sie ist natürlich notwendig dafür, dass die zweite überhaupt sinnvoll ist. Wenn die Funktion f beispielsweise an der Stelle 4 definiert ist, aber nicht bei -4, dann ergibt die Forderung f(4) = f(-4) überhaupt keinen Sinn.

Eine Funktion f ist genau dann ungerade, wenn Folgendes gilt:

(1) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} -x \in D \end{eqnarray*}$

(in Worten: Jedes Element der Definitionsmenge muss auch mit umgekehrten Vorzeichen vorhanden sein)

(2) Für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt: f(x) = -f(-x) [gleichwertig: -f(x) = f(-x)]

(in Worten: Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung)

Zusammengefasst: Gerade und ungerade bezeichnen eine Symmetrie des Funktionsgraphen.

-------------------

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f \colon\, x \mapsto \mathrm{e}^x \qquad D = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

ist weder ungerade noch gerade. Du kennst sicher den Graphen: Dieser hat überhaupt keine Symmetrien, weder Achsensymmetrie zur y-Achse (=gerade) noch Punktsymmetrie zum Ursprung (=ungerade).

Oder rechnerisch: Finde einfach jeweils ein Gegenbeispiel, bei dem nicht f(x) = f(-x) bzw. f(x) = -f(-x) gilt. Damit ist ja dann schon widerlegt, dass die Funktion gerade bzw. ungerade ist.

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f \colon\, x \mapsto\sqrt[3]{x-2} \qquad D = [2; +\infty[ \end{eqnarray*}$

ist ebenfalls weder ungerade noch gerade. Sie hat gar nicht die passende Definitionsmenge, um überhaupt eins von beidem sein zu können. Siehe die obige Forderung (1)!

Bei den anderen beiden Funktionen hast Du Recht.

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