Divergenz des Sinus

07.12.2008, 16:36

Liz2103

Divergenz des Sinus

Moin allerseits!

ich soll zeigen, das $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Dafür wollte ich zuerst zwei Nullfolgen suchen, und zeigen, das die Funktionswerte von diesen Nullfolgen nicht gleich sind. Nun habe ich als erste Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ genommen. Setze ich diese Folge aber ein, erhalte ich : $\begin{eqnarray*} lim_{x\to\infty}\sin(x) \end{eqnarray*}$ . ich weiss aber das der Sinus gegen unedlich nicht konvergiert. Nun brauch ich noch eine erklärung.

Kann ich einfach sagen, das die Folge periodisch ist und keine Folgenhäufungspunkt besitzt, deswegen kann sie ja nicht konvergieren??!!

Oder wie sollte man bei solchen DIvergenzbeweisen vorgehen?

LG

07.12.2008, 16:47

tmo

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RE: Divergenz des Sinus

Zitat:

Original von Liz2103
Dafür wollte ich zuerst zwei Nullfolgen suchen, und zeigen, das die Funktionswerte von diesen Nullfolgen nicht gleich sind.

Genau die richtige Idee. Finde Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (x_n),(y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y_n)=-1 \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht schwer, wenn man weiß, wann der Sinus diese Werte annimmt.

07.12.2008, 16:48

Liz2103

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RE: Divergenz des Sinus
also reicht mein beweis nicht? denn dann wäre ich ja jetzt schon fertig?!

07.12.2008, 16:51

tmo

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Dein Beweis reicht nicht. Er ist formal und inhaltlich falsch.

07.12.2008, 17:04

Liz2103

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schade! : ) na gut, dann werde ich nochmal zwei Nullfolgen suchen mit enstprechenden Eigenschaften. ich hab auch schon eine idee!

Vielen Dank

07.12.2008, 17:15

Liz2103

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XD Gefunden!

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2}{n\cdot\pi} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b_n=-\frac{2}{n\cdot\pi} \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} 1\ne -1 \end{eqnarray*}$

ist die Funktion in Null nicht konvergent!!! (oder?)

Vielen Dank!

07.12.2008, 17:30

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Wenn deine Absicht war, zwei Nullfolgen mit

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} f(a_n) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} f(b_n) = -1 \end{eqnarray*}$

zu konstruieren, dann musst du nochmal ran: Deine Beispiele erzeugen beide periodische Funktionswertfolgen

1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , ...

nur etwas gegeneinander verschoben.

07.12.2008, 17:55

Liz2103

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ah okay, hab ich verstanden. Aber wenn ich jetzt die Folgen nehme:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{2n\cdot\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{(2n+1)\cdot\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

oder hab ich da schon wieder nen denkfehler gemacht?

07.12.2008, 19:34

Liz2103

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ehm ich glaube auch hier ist noch ein fehler.

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} \end{eqnarray*}$

nehme, sollte es aber wieder hinkommen. Oder???

07.12.2008, 19:38

tmo

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So ist es dann korrekt. Gebe zusätzlich aber noch $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_n) \end{eqnarray*}$ an.

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