Konvergenz einer Folge

07.12.2008, 17:25

Fitzefatz

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Konvergenz einer Folge

Hey,
ich habe eine Aufgabe zur Konvergenz bekommen und stehe da vollkommen auf dem Schlach. Die Aufgabe ist:
Gegeben ist eine Folge a n mit n Element {2,3,..} mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\, n^2 + 3\, n}{\left(n - 1\right)\, \left(n + 1\right)} \end{eqnarray*}$

Meine Vermutung: Die Folge konvergiert gegen 2

also: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon{} > 0, \varepsilon{} \in \mathbb R \exists N \in \mathbb N : |an-a| < \varepsilon{} \forall n\in \mathbb N , n \geq N \end{eqnarray*}$

| $\begin{eqnarray*} \frac{2\, n^2 + 3\, n}{\left(n - 1\right)\, \left(n + 1\right)} - 2 \end{eqnarray*}$ | < Eps

das Ganze dann umgefort etc. <=>

| $\begin{eqnarray*} \frac{3\, n - 2}{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$ | < Eps

Und ab jetzt komme ich einfach nicht weiter. Und bis jetzt habe ich ja nur eine Vermutung aufgestellt und nen bissle rumgerechnet...also noch wirklich keine große Leistung.
Wie zeige ich denn nun, dass 2 wirklich der Grentwert der Folge an ist?
Viele Dank für eure Hilfe!!

07.12.2008, 17:28

Liz2103

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RE: Konvergenz einer Folge
Das ist doch schon ein anfang, jetzt musst du noch ein geeignetes N finden, wofür die Ungleichung immer erfüllt ist. Dafür solltest du geschickte Abschätzungen machen.

07.12.2008, 17:31

Fitzefatz

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RE: Konvergenz einer Folge
Und wie kann ich ein N finden? Das N steht ja "in Verbindung" mit dem Eps und das ist immer > 0.
Tut mir leid ich steht echt voll auf dem Schlauch... verwirrt

verwirrt

07.12.2008, 17:33

eierkopf1

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RE: Konvergenz einer Folge
Deine Umformung stimmt nicht.

07.12.2008, 17:37

Fitzefatz

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Ich kann keinen Fehler finden!? Wo habe ich mich denn vertan?

07.12.2008, 17:39

Liz2103

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naja das macht ja nichts. Du kannst doch trotzdem ein N angeben, es muss ja gerade in abhängigkeit von eps stehen. Also lautet die Aufgabe jetzt (wenn die umformung stimmt..) suche ein N in Abhängigkeit von eps für welches die Ungleichung immer stimmt.

Also ich kann dir ein beliebiges eps, welches größer null und reell ist geben und du kannst mir sofort sagen ab welchem n die Ungleichung stimmt.

Jetzt klarer was zu tun ist?

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07.12.2008, 17:40

eierkopf1

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Kann ich dir so nicht sagen, da ich deine Umformungsschritte nicht kenne Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Grenzwert
Musst du dieses Beispiel mit der Definition des Grenzwertes lösen?

07.12.2008, 17:41

Liz2103

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P.S. kleiner Vorzeichenfehler. Rechne nochmal nach!

07.12.2008, 17:41

Fitzefatz

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$\begin{eqnarray*} \frac{2\, n^2 + 3\, n}{n^2 - 1} - 2<br /> <=><br /> \frac{2\, n^2 + 3\, n}{n^2 - 1} - \frac{2\, n^2 - 2}{n^2 - 1} <=> \frac{3\, n - 2}{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$

07.12.2008, 17:43

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} \frac{3\, n + 2}{n^2 - 1} \end{eqnarray*}$

Plus 2

07.12.2008, 17:44

Fitzefatz

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Hmm bin nin registriert und kann meine Beiträge nicht ändern. Glaube mein VZF liegt bei dem -2. Es müsste ein +2 sein

07.12.2008, 17:50

Fitzefatz

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Nehme ich z.B. ein Eps = 5, dann ergibt sich aus der Ungleichung, dass das gilt für alle n > 1,13...
aber was nützt mir das jetzt? Ist das dann noch allgemein?

07.12.2008, 17:55

eierkopf1

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Versuche, die Betragsstriche wegzubekommen.

07.12.2008, 17:59

Liz2103

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Zitat:

naja das macht ja nichts. Du kannst doch trotzdem ein N angeben, es muss ja gerade in abhängigkeit von eps stehen. Also lautet die Aufgabe jetzt (wenn die umformung stimmt..) suche ein N in Abhängigkeit von eps für welches die Ungleichung immer stimmt. Also ich kann dir ein beliebiges eps, welches größer null und reell ist geben und du kannst mir sofort sagen ab welchem n die Ungleichung stimmt.

also wie eierkopp schon gesagt hat versuche nun die betragsstriche zu eliminieren und mache abschätzungen.

07.12.2008, 18:13

Fitzefatz

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Hab grad die ganze Zeit gerechnet, komme da aber auf keinen grünen Zweig. traurig

traurig

Könnt ihr mir vllt noch nen weiterführenden Ansatz geben??

07.12.2008, 18:20

tmo

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Einfach mal ein bisschen Abschätzen..

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{3n+2}{(n-1)(n+1)} \right| = \frac{3n+2}{(n-1)(n+1)} < \frac{3n+3}{(n-1)(n+1)} = \frac{3}{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun löse einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n-1}< \varepsilon \end{eqnarray*}$ nach n auf, also bringe sie in die Form $\begin{eqnarray*} n > n(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Dann wählt man $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} N > n(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt (nach dem Archimedesaxiom möglich). Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{3n+2}{(n-1)(n+1)} \right| < \frac{3}{n-1} \leq \frac{3}{N-1} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Schau dir die Vorhergehensweise genau an. Dann kannst du es das nächste mal selber.

07.12.2008, 18:23

Liz2103

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also du weisst, $\begin{eqnarray*} \frac{3n+2}{n^2-1}<3n+2 \end{eqnarray*}$ für alle n der Natürlichen Zahlen. nehme dann $\begin{eqnarray*} \frac{3n+2}{n^2-1}<3n+2<\varepsilon \end{eqnarray*}$ nun kannst du doch für das n eins angeben damit die ungleichung stimmt oder?

07.12.2008, 18:24

Fitzefatz

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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Gott

Gott

Jetzt werd ich versuchen das Ganze zu verstehen.
Aber eine kurze Frage habe ich noch:
Wie kommst du darauf, dass du die Folge in zwei Elemente aufteils und dann einfach im Zähler 1 addierst?

07.12.2008, 18:28

Fitzefatz

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Liz, bei deiner Antwort verstehe ich nicht, warum ich einfach den Nenner weglassen darf. Und wenn ich n = 0 annehme, teile ich doch im Fall " n^2 - 1 " druch 0, oder?

07.12.2008, 18:32

Liz2103

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du hattest aber gesagt, das n ={2,3,...} ist. Deswegen ist der Nenner immer Positiv.

07.12.2008, 18:32

eierkopf1

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Was meinst du mit "in zwei Elemente aufteilen"?

Das andere ist das Abschätzen. Liz hat eben großzügiger abgeschätzt. Das ist natürlich "erlaubt", da du nur nachweisen musst, dass es ein epsilon gibt. Es muss nicht das "beste" epsilon sein.

07.12.2008, 18:36

Fitzefatz

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In zwei Elemente aufteilen war etwas falsch von mir ausgedrück. Ich meinte, dass du den Betrag gleichsetzt mit einer anderen dem Betrag ähnlichen Ungleichung.
Aber an dieser Stelle noch mal ein dickes Lob an euch beide...Sitze nämlich heute den den ganzen Tag daheim und versuche das zu verstehen

07.12.2008, 18:46

eierkopf1

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Die Betragsstriche fallen weg, da Nenner und Zähler positiv sind, da n>1 ist.

07.12.2008, 18:50

tmo

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Zitat:

Original von eierkopf1
Liz hat eben großzügiger abgeschätzt. Das ist natürlich "erlaubt", da du nur nachweisen musst, dass es ein epsilon gibt. Es muss nicht das "beste" epsilon sein.

Liz hat deutlich zu großzügig abgeschätzt. So klappt das nicht mehr.

07.12.2008, 18:55

eierkopf1

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Wo liegt die Grenze für "zu großzügig"? verwirrt

verwirrt

07.12.2008, 18:57

tmo

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Ist doch klar. Wenn man eine Nullfolge hat und das zeigen will, aber die Nullfolge dann gegen eine Folge abschätzt, die nicht gegen 0 konvergiert, war das eindeutig zu großzügig.

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