Taylorentwicklung für skalares Feld

07.12.2008, 17:35

barthcar

Taylorentwicklung für skalares Feld

Hi Leute,

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein konstanter Vektor und $\begin{eqnarray*} \vec{r}=(x,y,z) \end{eqnarray*}$ . Entwickeln Sie das skalare Feld

$\begin{eqnarray*} \phi (\vec{r})= \frac {1}{\mid \vec{r}-\vec{a} \mid } \end{eqnarray*}$

um $\begin{eqnarray*} \vec{r}=0 \end{eqnarray*}$ als Taylorreihe bis einschließlich 2. Ordnung in den Komponenten von
$\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ .

Also ich habe zwar das mit der Taylorentwicklung verstanden aber wie das für Felder geht überhaupt nicht!! Ich weiß das es irgendwas mit partiellen Ableitungen (und vielleicht dem Nabla-Operator?) zu tun hat, aber ich bräuchte wirklich mal irgend einen Tipp für den Ansatz.

Danke euch!

Carlo

07.12.2008, 17:43

system-agent

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Wie lautet die Taylorreihe?
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{|k|\geq0}\frac{D^kf(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Multiindex.
So, du sollst nun bis zur Ordnung 2 enwickeln.
Dann finde erstmal alle Multiindizes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |k|\leq2 \end{eqnarray*}$ .

07.12.2008, 18:41

barthcar

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RE: Taylorentwicklung für skalares Feld
Hi System-Agent,

also erstmal besten Dank für deine Antwort.

Muss dir ehrlich gestehen dass ich das Wort Multiindizes zum ersten mal gehört hab. Und wenn ich in den Vorlesungen auch nicht alles "verstanden" habe, habe ich aber doch zugehört Augenzwinkern

.

Geht das also auch irgendwie ohne Multiindizes? Hab mir das grade bei Wikipedia durchgelesen und eigentlich nur Bahnhof verstanden.
(Ich muss vielleicht dazusagen das ich nur ein simpler Physikstudent im ersten Semester bin [ich hoffe das war jetzt kein Outing in diesem Forum Augenzwinkern

])

Wie genau sieht der von dir beschriebene Differentialoperator D^k denn aus?
Also wenn du so lieb wärst, könntest du das ganze für mich noch etwas durchsichtiger machen?

Danke dir...

Carlo

07.12.2008, 19:32

system-agent

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Na wer weiss, vll outest dich ja doch Augenzwinkern

Der Multiindex ist einfach eine sehr praktische Schreibweise vollkommen unhandliche Indizes handlich zu machen.
Ein Multiindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist einfach ein [in deinem Fall] 3-Tupel natürlicher Zahlen $\begin{eqnarray*} k=(k_1,k_2,k_3)\in\mathbb N^3 \end{eqnarray*}$ , zb.
$\begin{eqnarray*} k=(0,1,10) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k=(1,2008,2) \end{eqnarray*}$ ,...
[wie "Vektoren" mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ].

Man definiert die Länge,
$\begin{eqnarray*} |k|:=k_1+k_2+k_3 \end{eqnarray*}$
seine Fakultät
$\begin{eqnarray*} k!:=k_1!\cdot k_2!\cdot k_3! \end{eqnarray*}$ .

Für einen reellen oder komplexen Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ definiert man
$\begin{eqnarray*} x^k:=x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2}\cdot x_3^{k_3} \end{eqnarray*}$ .

Für den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ definiert man
$\begin{eqnarray*} D^k:=D_1^{k_1}D_2^{k_2}D_3^{k_3} \end{eqnarray*}$
wobei das bedeutet, dass man $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ -mal in die erste Koordinatenrichtung ableitet [also $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ -mal partiell in die Richtung $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ableitet], $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ mal in die zweite und $\begin{eqnarray*} k_3 \end{eqnarray*}$ mal in die dritte Koordinatenrichtung.

Diese Taylorformel kann man via Induktion relativ leicht beweisen [steht zb in Forster, Analysis 2].
Ausgedeutscht:
Zuerst die Länge 0 der Multiindezes:
Da gibt es bloss einen, also $\begin{eqnarray*} k=(0,0,0) \end{eqnarray*}$
Also ist der erste Summand der Summe:
$\begin{eqnarray*} \frac{D^{(0,0,0)}f(x_0)}{(0,0,0)!}(x-x_0)^{(0,0,0)}=\frac{D_1^0D_2^0D_3^0f(x_0)}{0!0!0!}(x^{(1)}-x^{(1)}_0)^0\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)^0\cdot(x^{(3)}-x^{(3)}_0)^0=f(x_0) \end{eqnarray*}$
genau wie man es sich vorstellt.
Hier habe ich $\begin{eqnarray*} x^{(1)} \end{eqnarray*}$ als Schreibweise für den ersten Eintrag im Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ benützt. Du siehst jetzt wie schlimm die "gewöhnliche" Indexnotation ohne Multiindex ist....

Nun die Multiindizes für die Länge 1:
$\begin{eqnarray*} (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \end{eqnarray*}$
Nun musst du für jeden Index den entsprechenden Summand bilden, zb für $\begin{eqnarray*} k=(1,0,0) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{D^{(1,0,0)}f(x_0)}{(1,0,0)!}(x-x_0)^{(1,0,0)}=\frac{D_1^1D_2^0D_3^0f(x_0)}{1!0!0!}(x^{(1)}-x^{(1)}_0)^1\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)^0\cdot(x^{(3)}-x^{(3)}_0)^0=D_1f(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)})=\frac{\partial f}{\partial x^{(1)}}(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)}) \end{eqnarray*}$

Nun bist du dran für die Länge 2. Ist wie gesagt eben bischen mühsam diese Taylorformel wenn man sie tatsächlich benutzen muss...
Oder du formulierst die einmal aus allgemeine für die Ordnung 2 und kannst dir das merken. Da siehst du dann auch den Gradienten und die Hessematrix drin, wenn du alles richtig gemacht hast und zusammengefasst hast.

07.12.2008, 20:08

barthcar

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Also erstmal will ich mich für diese große Mühe die du dir da gemacht hast herzlich bedanken!! smile

Aber das alles irritiert mich momentan ein bisschen, weil wir das irgendwie völlig anders gemacht haben. aber da ich das ja nicht verstanden habe und ich deiner Variante bisher gut folgen kann, kann es ja nur besser werden.

Also für die Länge 2 hätte ich jetzt folgendes geschrieben:

Mögliche Multiindizes sind:

$\begin{eqnarray*} (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2) \end{eqnarray*}$ stimmt's?

zb für $\begin{eqnarray*} k=(1,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{D^{(1,1,0)}f(x_0)}{(1,1,0)!}(x-x_0)^{(1,1,0)}=\frac{D_1^1D_2^1D_3^0f(x_0)}{1!1!0!}(x^{(1)}-x^{(1)}_0)^1\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)^1\cdot(x^{(3)}-x^{(3)}_0)^0=D_1D_2f(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)})\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^{(1)} \partial x^{(2)}}(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)})\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0) \end{eqnarray*}$

Jetzt folgen viele Fragen:

1) ist das was ich da fabriziert habe richtig?
2) muss ich das für alle möglichen MultiIndizes machen?
3) Wie sieht denn nun die Lösung aus Augenzwinkern

? da tauchte ja das Skalarfeld von oben noch nicht einmal auf!?! Wir haben das in der Vorlesung für $\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r})=\mid \vec{r}-\vec{a} \mid \end{eqnarray*}$ gemacht und das sah etwas kompakter aus und ohne Multiindizes und so!

Wie du siehst scheint mein Outing gerechtfertigt zu sein, da ich keine Ahnung habe was wir hier grad machen !

Danke dir trotzdem sehr dolle!

Carlo

07.12.2008, 20:28

system-agent

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Zitat:

Original von barthcar
Aber das alles irritiert mich momentan ein bisschen, weil wir das irgendwie völlig anders gemacht haben.

Wie denn?

Zitat:

Original von barthcar
Mögliche Multiindizes sind:

$\begin{eqnarray*} (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2) \end{eqnarray*}$ stimmt's?

Bei den ersten hast du eine 1 vergessen...

Zitat:

Original von barthcar
zb für $\begin{eqnarray*} k=(1,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{D^{(1,1,0)}f(x_0)}{(1,1,0)!}(x-x_0)^{(1,1,0)}=\frac{D_1^1D_2^1D_3^0f(x_0)}{1!1!0!}(x^{(1)}-x^{(1)}_0)^1\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)^1\cdot(x^{(3)}-x^{(3)}_0)^0=D_1D_2f(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)})\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^{(1)} \partial x^{(2)}}(x_0)\cdot(x^{(1)}-x_0^{(1)})\cdot(x^{(2)}-x^{(2)}_0) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig Freude

Zitat:

Original von barthcar
2) muss ich das für alle möglichen MultiIndizes machen?

Jein. Die Taylorreihe ist tatsächlich wie im eindimensionalen eine unendliche Reihe, aber da du nur bis Ordnung 2 brauchst, reicht auch bis $\begin{eqnarray*} |k|=2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von barthcar
3) Wie sieht denn nun die Lösung aus Augenzwinkern

? da tauchte ja das Skalarfeld von oben noch nicht einmal auf!?!

Die Lösung bekommst du, indem du deine ganzen ausgerechneten Dinge addierst.
Deine Lösung bekommst du, indem du $\begin{eqnarray*} f=\phi \end{eqnarray*}$ setzt.

Das was du bisher gemacht hast, geht für $\begin{eqnarray*} f:U\subset\mathbb R^3\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen und konvex und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genügend oft partiell ableitbar.

07.12.2008, 20:31

barthcar

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Also gehe ich richtig in der Annahme, dass jetzt noch 7 Summanden fehlen? Und dann muss ich in den Summanden dann noch jedesmal die partielle Integration durchführen, ja?

Das wird ja ziemlich längslich, oder? Augenzwinkern

Oder lässt sich dann da noch was zusammenfassen?

Vielen dank...

Carlo

07.12.2008, 20:46

system-agent

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Ich weiss nicht wie viele Summanden es sein müssten....egal, länglich ist es auf jeden Fall!
Aber partielle Integration ist falsch, du sollst ableiten!

Was noch zu beachten ist:
Du könntest bei gewissen zweiten Ableitungen den Satz von Schwaz nutzen.

07.12.2008, 20:49

barthcar

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Meinte ich doch! Partiell Ableiten...

Na es müssten do genau soviele Summanden sein wie es mögliche Multiindizes gibt, oder?

Also einen für |k|=0, drei für |k|=1 und sechs für |k|=2 oder?
Genau 10!?

Carlo

07.12.2008, 21:17

system-agent

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Ja, so siehts aus....

Übrigens:
Hier steht die Taylorformel von Ordnung 2 schon ausformuliert. Bei dieser Methode schreibst du offensichtlich jeden Summanden hin, der in der Wiki-Formulierung in Matrixprodukten versteckt ist.

07.12.2008, 21:48

barthcar

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das ist natürlich praktisch, aber diese Hessematrix ist wieder etwas was ich noch nicht kenne, hat das was mit dem Laplace-Operator zu tun?
Und was hat dieses T zu bedeuten? und ist f(a) dann mein Skalares Feld?

Ich denke ich werde das ganze mal zuende machen, was wir da angefangen haben. Unsere Lösung (also von unserem Professor) kann ich dir in den nächsten dann wenn du willst mal reinposten.

Carlo

07.12.2008, 22:43

system-agent

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Soweit ich weiss ist es das Problem was die Physiker immer haben:
Es wird etwas gebraucht, was man unmöglich im ersten Semester in Mathe hört bzw. beweist. Von dem her kannst du das jetzt eben als ein Kochrezept nehmen bis du es in einer Vorlesung wirklich begründet und bewiesen bekommst.

Na klar, Lösungen sind immer gut wenn jemand ein ähnliches Problem hat und hier dann im Thread gleich die Lösung dazu findet.

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