Gaußsches Eliminationsverfahren ab Treppenform

31.08.2006, 21:47

Arnie

Gaußsches Eliminationsverfahren ab Treppenform

Hallo Leute,

schreibe morgen ne wichtige Mathe Klausur und rechne soeben allerlei Aufgaben. Zum Glück tut sich mir gerade jetzt in einer Aufgabe eine offene Frage auf:

habe durch das Gaußsche Eliminationsverfahren eine 4x6-Matrix in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ in Treppenform:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 & b_6 & b_7 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 & c_6 & c_7 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 & d_5 & d_6 & d_7 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 5 & 2 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wobei die 7te Spalte das Ergebnis sein soll.
Nun bin ich mir unschlüssig welche Variablen ich frei wählen kann... In den Testaufgaben hatten wir immer eine saubere Treppenform und wenn eine ganze Reihe wegfiel, ersetzten wir die letzte Variable durch eine frei-wählbare Variable.
Darf ich nun $\begin{eqnarray*} x_3 = s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 = t \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (s,t \in \mathbb Z_7 ) \end{eqnarray*}$ setzen oder welche variablen kann ich s, t, u, ... setzen?

hoffe ihr versteht meine etwas unmathematische Fragestellung verwirrt

Mfg
Arnie

P.S.: Die Matrix mit a-d & Indizes soll nur die Matrix auf der rechten Seite verdeutlichen...

01.09.2006, 01:20

Ben Sisko

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren ab Treppenform
Du hast 3 Nichtnullzeilen und 7 Variablen. Also hast du 4 freie Parameter. Die Variablen dafür kannst du dir aussuchen.

01.09.2006, 09:46

Arnie

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Oh Super, ein Nachtschwärmer ;-)
Also kann ich $\begin{eqnarray*} x_4 = s, x_5 = t, x_4 = u \end{eqnarray*}$ setzen und damit weiter rechnen?
Also muß ich mir im Grunde immer nur die "Treppe" vorstellen und alles rechts der Treppe was ausschließlich Null ist, kann ich durch beliebige Variablen ersetzen?

MfG
Arnie

01.09.2006, 10:00

Arnie

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So, hab jetzt mal mit $\begin{eqnarray*} x_4 = s, x_5 = t, x_4 = u \end{eqnarray*}$ ein LGS erstellt.
Nun hab ich jedoch auf der rechten Seite immer noch die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ stehen. Muß ich der einfach auch eine frei wählbare Variable zuweisen?
Sonst komm ich ja nicht zurecht.
Hier meine Schritte:
LGS1: $\begin{eqnarray*} x_1 = 4x_3 + s + 5t + 2u + 5 \end{eqnarray*}$
LGS2: $\begin{eqnarray*} x_2 = 5x_3 + s + 6t + 4u + 1 \end{eqnarray*}$
LGS3: $\begin{eqnarray*} t = 3 + u \end{eqnarray*}$
Einsetzen von t in LGS1 und LGS2:
LGS1: $\begin{eqnarray*} x_1 = 4x_3 + s + 0u + 4 \end{eqnarray*}$
LGS2: $\begin{eqnarray*} x_2 = 5x_3 + s + 3u + 5 \end{eqnarray*}$
Hier habe ich also noch die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ als Unbekannte drin.
Muß ich also, weil die Treppenstufe in der Reihe 3 eine Null ist AUCH direkt $\begin{eqnarray*} x_3 = v \end{eqnarray*}$ oder so setzen?

MfG
Arnie

P.S.: Nicht das jemand denkt, ich rechne Stuss: wir sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$

P.S2: Kann ich den rot markierten Schritt überhaupt machen? Mach mir damit doch mein LGS kaputt oder?

01.09.2006, 10:36

klarsoweit

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren ab Treppenform

Zitat:

Original von Ben Sisko
Du hast 3 Nichtnullzeilen und 7 Variablen. Also hast du 4 freie Parameter.

Hmm. Ich komme auf 6 Variablen. Die 7. Spalte sollte das Ergebnis sein.

@Arnie: Also als erstes brauchst du eine spezielle Lösung. Rein Formal erhältst du diese, wenn du in der Matrix diejenigen Spalten j suchst, zu denen es eine Zeile i mit folgenden Eigenschaften gibt:
1. $\begin{eqnarray*} a_{ij} \neq 0 \end{eqnarray*}$
2. Es gibt ein k < j mit $\begin{eqnarray*} a_{ik} \neq 0 \end{eqnarray*}$
(Also irgendwo links von a_ij gibt es ein Nicht-Null-Element.
3. Für alle k > i ist $\begin{eqnarray*} a_{kj} = 0 \end{eqnarray*}$ , sofern die i-te Zeile nicht die letzte Zeile ist.
(Also unterhalb von a_ij sind nur Nullen.)

Für jedes gefundene j setzt du x_j = 0. Für die restlichen x-Komponenten kannst du die spezielle Lösung bestimmen.

Als nächstes brauchst du die allgemeine Lösung des homogenen GLS.
Dazu ersetzt du die oben gefunden x_j durch freie Parameter und bestimmtst wieder restlichen x-Komponenten.

EDIT: kleine Ergänzug der Regel.

01.09.2006, 10:45

Arnie

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Habe ja auch bemerkt, daß die 7te Spalte das Ergebnis sein soll, einen Querbalken habe ich in Latex jedoch nicht gefunden Augenzwinkern

Wenn ich Dich also richtig verstehe, muß ich $\begin{eqnarray*} x_3, v_4, x_5, x_6 \end{eqnarray*}$ in meinem Beispiel durch beliebige Variablen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dann löse ich das LGS nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf und erhalte alle Lösungen des LGS!?
Also kann man sich als einfach Regel merken: Treppe in Stufenform-Matrix denken und alle x-Komponenten die rechts der untersten Treppenstufe stehen, werden beliebig gesetzt.
Hab ich das richtig verstanden?

01.09.2006, 10:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arnie
Also kann man sich als einfach Regel merken: Treppe in Stufenform-Matrix denken und alle x-Komponenten die rechts der untersten Treppenstufe stehen, werden beliebig gesetzt.
Hab ich das richtig verstanden?

Nein, so ist die Regel falsch verstanden.

Zitat:

Original von Arnie
Wenn ich Dich also richtig verstehe, muß ich $\begin{eqnarray*} x_3, v_4, x_5, x_6 \end{eqnarray*}$ in meinem Beispiel durch beliebige Variablen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Nein. Nur $\begin{eqnarray*} x_3, x_4, x_6 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: habe die Regel oben noch ergänzt.

01.09.2006, 10:57

Arnie

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Aber dann bekomme ich doch keine Lösung heraus, weil $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ noch in den Gleichungen vorkommt. Brauche das Verfahren zur bestimmung des Untervektorraums und da muß - meines Wissens - jedes x eliminiert sein und nur noch beliebige Linearfaktoren (s, t, u, ...) vorkommen.
Also konkret: Was mache ich nun mit o.a. LGS um den Untervektorraum zu erhalten?

01.09.2006, 11:03

klarsoweit

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Bestimme erstmal eine spezielle Lösung. Da wir x_3, x_4 und x_6 als diejenigen Komponenten identifiziert haben, die später als Parameter fungieren, setzt du diese für die spezielle Lösung erstmal = Null.

Danach sehen wir weiter.

01.09.2006, 11:09

Arnie

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Nun gut, wenn ich Dich richtig verstehe soll ich nun also $\begin{eqnarray*} x_3 = x_4 = x_5 = x_6 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen.
Aus
LGS1: $\begin{eqnarray*} x_1 = 4x_3 + s + 0u + 4 \end{eqnarray*}$
LGS2: $\begin{eqnarray*} x_2 = 5x_3 + s + 3u + 5 \end{eqnarray*}$
folgt dann
LGS1: $\begin{eqnarray*} x_1 = 4 \end{eqnarray*}$
LGS2: $\begin{eqnarray*} x_2 = 5 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} s=x_4, t=x_5, u=x_6 \end{eqnarray*}$ sind.
Was sagt mir das jetzt? verstehe nun weniger als vorher...

01.09.2006, 11:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arnie
Nun gut, wenn ich Dich richtig verstehe soll ich nun also $\begin{eqnarray*} x_3 = x_4 = x_5 = x_6 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen.

Nein. Bei mir war nicht von x_5 die Rede.
Dann gehst du immer sofort auf die allgemeine Lösung los. Das kommt aber später. Wir brauchen erst eine spezielle Lösung. Die hat keine Parameter.

Setze also $\begin{eqnarray*} x_3 = x_4 = x_6 = 0 \end{eqnarray*}$ und bestimme eine spezielle Lösung.
Wenn x_6 = 0 ist, was folgt dann für x_5?
Entsprechend findest du Werte für x_1 und x_2.

Für die allgemeine Lösung setzt du x_6 = u. Was folgt dann für x_5?

01.09.2006, 11:56

Arnie

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Das Lösungsverfahren, daß Du mir gerade vorschlägst, hatten wir weder in irgendeiner Übung noch in den Probeklausuren, dort hatten wir immer einfach s,t, ... und haben dann eine allgemeine Lösung für das LGS gefunden. Schreibe in 30 Min. die Klausur, also wird meine Frage wohl ungeklärt bleiben müssen. Hoffe, daß genau so eine Aufgabe mit einer 0 in der Treppe nicht rankommen wird...
Trotzdem danke für Deine Bemühungen.

MfG
Arnie

01.09.2006, 12:00

klarsoweit

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Tut mir leid, daß es nicht mehr gereicht hat.
Wichtig ist folgende Beziehung:

Die allgemeine Lösung eines inhomogenen GLS ist die allgemeine Lösung des homogenen GLS plus eine spezielle Lösung.

Deswegen brauchst du beides:
- Eine spezielle Lösung.
- Die allgemeine Lösung des homogenen GLS.

01.09.2006, 12:47

Ben Sisko

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren ab Treppenform

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Ben Sisko
Du hast 3 Nichtnullzeilen und 7 Variablen. Also hast du 4 freie Parameter.

Hmm. Ich komme auf 6 Variablen. Die 7. Spalte sollte das Ergebnis sein.

Sorry, falls ich damit zur Verwirrung beigetragen habe...

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