e als Reihe

07.12.2008, 20:21

stereo

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e als Reihe

Hallo, ich komme grad nicht weiter bei der Aufgabe und ein Schritt ist mir nicht klar smile

smile

Aufgabe:
a) Man zeige, dass gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac {1}{k!} = e \text{ mit } e := \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ .
Vergleichen Sie den beide Aussagen miteinander.

b) Beweisen Sie mit Hilfe des Additionstgeorems
$\begin{eqnarray*} \exp(x+y) = \exp(x) \exp (y) \quad (x, y \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ die Gleichung: $\begin{eqnarray*} \exp(1/m) = e^{1/m} \end{eqnarray*}$

_____________________________________________________________________

zu a) Ein Freund hat mir gesagt wie ich anfangen kann, jedoch ist mir nicht ganz klar warum ich so anfangen kann. Das müsste mal beleuchtet werden smile

smile

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ab einen bestimmten N mit n>N:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}-e\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

mit: $\begin{eqnarray*} \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom n k \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k!}-\sum_{k=1}^n~\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right|=\left|\sum_{k=1}^n~\left(\frac{1}{k!}-\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right)\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=1}^n~\left|\frac{n^k-n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\right|=\sum_{k=1}^n~\frac{n^k-n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=1}^n~\frac{n^k-(n-k+1)^k}{k!\cdot n^k}=\sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1-\frac{k-1}{n}\right)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \sum_{k=1}^n~\frac{1-\left(1-\frac{(k-1)k}{n}\right)}{k!}=\sum_{k=1}^n~\frac{\frac{(k-1)k}{n}}{k!}=0+\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=2}^n~\frac{1}{(k-2)!} =\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-2}~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!} = 2+\sum\limits_{k=2}^{\infty} ~ \frac{1}{k!} \leq 2+\sum\limits_{k=2}^{\infty} ~ \frac{1}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$

Hier hängt es jetzt, Kann mir jemand weiterhelfen?

und bei Aufgabe b) finde ich keinen Ansatz der mich zum Ziel führt. also ich weiß ja dass $\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2008, 20:39

tmo

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Deine ganze Abschätzungen helfen nicht wirklich, da du am Ende auf jeden Fall etwas größeres als 2 hast. Wie soll das kleiner als jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ sein?

Ich würde bei der a) anders ansetzen.

Klar ist mit dem binomischen Lehrsatz:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Also

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist also noch:

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Dazu betrachtest du ein festes, aber beliebiges $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und zeigst (das bleibt mal noch dir überlassen, aber stelle sicher, dass du den Beweis verstehst unter der Annahme das wäre schon gezeigt), dass gilt:
$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
Gehe nun zum Grenzübergang $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ über.

b) ist nur eine kleine Folgerung aus a) und der Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} e = \exp(1) = \exp\left( \underbrace{\frac{1}{m} + \dotsb + \frac{1}{m}}_{m \text{ mal}} \right) = ... \end{eqnarray*}$ .

Die Gültigkeit des ersten Gleichheitszeichen wurde dabei in a) gezeigt.

07.12.2008, 20:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tmo
Deine ganze Abschätzungen helfen nicht wirklich, da du am Ende auf jeden Fall etwas größeres als 2 hast.

Der Einwand ist zwar richtig, aber kommt nur dadurch zustande, dass ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ vergessen wurde. Tatsächlich müsste es am Ende

$\begin{eqnarray*} [...]\leq\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-2}~\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!}=\frac{1}{n}\left(2+\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k!}\right)\leq \frac{1}{n}\left(2+\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{2^{k-1}}\right) \end{eqnarray*}$

heißen. Letzteres ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ und damit ist im Prinzip alles gezeigt.

07.12.2008, 20:59

stereo

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Ah super, danke für die schnellen Antworten.

@Mathespezialschüler

Wie zeige ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = 1 \end{eqnarray*}$

Das ist ja eine geometrische Reihe, aber da die Summe von k=2 bis unendlich läuft weiß ich nicht ob ich die Formel nutzen kann.

Ich hab das mit dem epsilon noch nicht ganz verstanden - warum setze ich so an und warum sage ich das $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ mein Epsilon ist. Weil 3/n gegen 0 läuft für große n?

Zum Schluss muss ich jetzt noch den Grenzwert zeigen, richtig?

07.12.2008, 21:04

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{2^{k-2}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{2^k}=\ldots \end{eqnarray*}$ .

Man setzt nicht $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ , sondern argumentiert so: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. (Warum existiert das?) Mit

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

gilt dann für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n-b_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet aber, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ konvergiert, muss das dann auch für $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} a_n=(a_n-b_n)+b_n\to 0+\operatorname e \end{eqnarray*}$ .

07.12.2008, 21:38

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Ah ok vielen Dank.

zu b)

$\begin{eqnarray*} e^1 = \exp(1) = \exp\left( \underbrace{\frac{1}{m} + \dotsb + \frac{1}{m}}_{m \text{ mal}} \right) = \left(\exp\left(\frac{1}{m}\right)\right)^m = (e^{1/m})^m = e \end{eqnarray*}$

Ist das schon der Beweis?

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07.12.2008, 21:53

Mathespezialschüler

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Du hast die Gleichung $\begin{eqnarray*} \operatorname e=\operatorname e \end{eqnarray*}$ unter Benutzung der zu beweisenden Aussage hergeleitet. Das ist ganz sicher nicht das, was du wolltest. Bis

$\begin{eqnarray*} \operatorname e=\left(\operatorname{exp}\left(\frac{1}{m}\right)\right)^m \end{eqnarray*}$

war es noch richtig. Was folgt denn daraus?

07.12.2008, 22:03

stereo

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Also ich hab

$\begin{eqnarray*} \operatorname e=\left(\operatorname{exp}\left(\frac{1}{m}\right)\right)^m \end{eqnarray*}$

Also ich weiß dass die Basis e heißt und ich brauche jetzt eine Exponent sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} x \cdot m = 1 \quad x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dass kann jetzt nur das inverse Element von m sein.

Also das finde ich sehr schwer im Studium - für mich ist das so gezeigt dass exp(1/m) = e^(1/m).

Ich sehe irgendwie nur immer den einen Weg und das macht mich blind für den richtigen Beweis - ich weiß wirklich nicht wie ich hier vorgehen muss.

07.12.2008, 22:47

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname e=a^m \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} a=\operatorname e^{\frac{1}{m}} \end{eqnarray*}$ .

Falls das auch dein Weg war: Viel mehr wollte ich gar nicht hören.

08.12.2008, 00:23

stereo

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Ja, ok. Genauso meinte ich das, danke dir vielmals smile

smile

Können wir nochmal über das Epsilon sprechen?

Ich wähle ein beliebig kleines $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , und ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt dann diese Ungleichung.

Das kann ich mir alles vorstellen. Im Prinzip zeigt die Ungleichung dass ab einem bestimmten Index der Abstand zwischen den Reihen sehr klein wird, ja sogar gegen 0 geht. Jetzt wähle ich ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ das größer als 0 ist und größer als die Differenz beider. Wann erkenne ich denn dass ich beim Abschätzen am Ziel bin?

wenn ich sehr grob abschätze ist mein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ halt sehr groß, aber das was ich hingeschrieben habe ich ja auch nicht falsch.

Verstehst du mein Problem?

08.12.2008, 01:02

Mathespezialschüler

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Nicht so ganz. Es ist so:

Man gibt sich zuerst ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor, wählt dann ein (von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängiges!) $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt und schätzt dann wie oben ab.

Natürlich kannst du dir ein kleineres $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ wählen. Dann wirst du in der Regel auch ein größeres $\begin{eqnarray*} n_0' \end{eqnarray*}$ wählen müssen. Für dieses $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ ist dann vielleicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n_0}\geq\varepsilon' \end{eqnarray*}$ , aber zumindest gilt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n'}<\varepsilon' \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n'\geq n_0' \end{eqnarray*}$ und das ist das, worauf es ankommt. $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hat ja mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ gar nichts zu tun. Es ist also kein Wunder, dass dann sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n_0}\geq\varepsilon' \end{eqnarray*}$ passieren kann.

08.12.2008, 19:30

stereo

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Ja aber wer sagt mir denn dass ich bei $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ am Ziel bin? Und woran orientier ich mich beim schätzen?

08.12.2008, 20:21

Mathespezialschüler

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Weil $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Damit muss auch $\begin{eqnarray*} a_n-b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein.

Orientieren ist da schlecht. Man probiert einfach Abschätzungen aus, bis man eine hat, die einen weiter bringt. Um sich da schon vorher orientieren zu können, braucht man einfach viel Erfahrung.

08.12.2008, 20:42

stereo

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Kann man so pauschal sagen:

Finde ich eine Nullfolge die größer ist, so geht auch $\begin{eqnarray*} a_n - b_n \end{eqnarray*}$ gegen Null?

08.12.2008, 21:41

Mathespezialschüler

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Findest du eine Nullfolge, die größer als $\begin{eqnarray*} |a_n-b_n| \end{eqnarray*}$ ist (der Betrag ist wichtig!), dann geht auch $\begin{eqnarray*} (a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ gegen Null, ja.

09.12.2008, 04:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von tmo
Deine ganze Abschätzungen helfen nicht wirklich, da du am Ende auf jeden Fall etwas größeres als 2 hast.

Der Einwand ist zwar richtig, aber kommt nur dadurch zustande, dass ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ vergessen wurde.

Aber eine Abschätzung in der Kette ist nicht gerade trivial.

09.12.2008, 14:18

stereo

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Ja das stimmt, ich saß 2 Tage an den Abschätzungen.

Gestern mussten wir die Aufgaben abgeben und ein Freund hatte es so wie du mir geraten hast - und das sah wirklich wesentlich einfacher aus smile

smile

09.12.2008, 19:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi
Aber eine Abschätzung in der Kette ist nicht gerade trivial.

Welche meinst du?

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