Lineare (Un-)Abhängigkeit: Vektoren und lin. Abb.

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07.12.2008, 21:29

Sandara

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Lineare (Un-)Abhängigkeit: Vektoren und lin. Abb.

Hi ins Forum Wink

ich habe mal wieder Schwierigkeiten bei meinen Mathe-Hausaufgaben verwirrt

Es geht um folgendes:

Es seien die Vektorräume V und W sowie eine lineare Abb. $\begin{eqnarray*} T: V\to W \end{eqnarray*}$ gegeben. Ferner
seien $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {v_{1},.......,v_{n}} \end{eqnarray*}$ Teilmenge von V. Man beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel die folgenden Aussagen:

a) $\begin{eqnarray*} {v_{1},.......,v_{n}} lin. abh. \rightarrow {T(v_{1}),.......,T(v_{n})} lin. abh. \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} {v_{1},.......,v_{n}} lin. unabh. \rightarrow {T(v_{1}),.......,T(v_{n})} lin. unabh. \end{eqnarray*}$
c) T hat maximalen Rang $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ T ist bijektiv

Irgendwie weiß ich nicht, wo ich anfange und ich habe stark den Verdacht, dass ich mit trivialen Dingen nicht zurechtkomme unglücklich

Lineare Abhängigkeit zwischen beliebigen Vektoren prüfe ich ja, indem ich schaue, ob ich sie als Linearkombi darstellen kann, d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot{v_{1}+.......+\lambda_n\cdot v_{n}} = 0 \end{eqnarray*}$ muss für mind. ein $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 0 \end{eqnarray*}$ herauskommen, da sie sonst nicht Lin. abh. sind.

Womit wir ja dann analog bei der lin. Unabh. sind, bei welcher bei o.g. Beweis herauskommen muss, dass jedes $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und wie mache ich das bei Abbildungen? Wie beweise ich das formell?

Könnt ihr mir helfen?

Danke und Grüße
Sandra

07.12.2008, 21:36

tigerbine

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RE: Lineare (Un-)Abhängigkeit: Vektoren und lin. Abb.
Jo, das sind doch klassische Fragen die man sich einmal gestellt haben sollte. Eine Basis besteht bekanntlich aus linear unabhängigen Vektoren und man kann eine lin. Abbildung allein durch die Bilder dieser Vektoren beschreiben. (Denke an eine Matrix).

b) Betrachte mal die Nullabbildung (alles auf 0)

a) Nimm eben an, die Bilder wären l.u.und führe das zu einem Widerspruch.

07.12.2008, 21:44

Sandara

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Ich hadere ein wenig mit dem Bild unglücklich

, genauer mit dem Verständnis.....dabei war das mal so leicht im Gym.

Ich hab einen Vektor und bilde den ab bekomme wieder einen Vektor, aber um etwas verändert?!

Ist eine doofe Frage, aber ich glaube, ich bin im Moment arg verwirrt.

07.12.2008, 21:46

tigerbine

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Warum so kompliziert? du hast v und T(v), fertig.

07.12.2008, 22:03

Sandara

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Seit ich studiere, hab ich das Gefühl, ich sei blöd unglücklich

Und unser Tutor, der die Aufgaben korrigiert, gibt mir oft nur die Hälfte der Punkte, weil irgendwas nicht mit Beispielen bewiesen wurde etc. Steht leider oft auch nicht bei den Aufgaben dabei, das ist jetzt mal eine Ausnahme mit der o.g. Aufgabe.

Okay, in a) hieße das, dass ich davon ausgehen soll, dass $\begin{eqnarray*} T(v_1)......T(v_n) \end{eqnarray*}$ lin. unab. sind, d.h $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot T(v_1).....\lambda_n\cdot T(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lambda_1...\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Irgendwas vergess ich doch?! verwirrt

Lg
Sandra

07.12.2008, 22:36

tigerbine

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Kopf hoch. Uni ist eben anders als Schule. Du musst mehr können mit weniger Erklärungen. Augenzwinkern

Beispiele sind i.A. schon mal gar keine Beweise, es sei denn es ist ein GEGENBEISPIEL.

Entscheidend wird es eben sein, die Lin. Abbildung zu benutzen. ich gehe nun mal einen anderen Weg als ich zuerst wollte. Sei mindestens ein lambda ist von 0 verschieden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~\lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

Nun lassen wir die Funktion drüber laufen:

$\begin{eqnarray*} T(\sum_{i=1}^m~\lambda_i v_i )=T(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~\lambda_iT( v_i )=0 \end{eqnarray*}$

Wieder ist mind. ein lambda ungleich 0 und voila lin. abh.

08.12.2008, 08:19

Sandara

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Guten Morgen,

ich hab mal einen indirekten Beweis ausbaldowert Augenzwinkern

UNd zwar zur b)

$\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

Seien $\begin{eqnarray*} {v_1,.....v_n} \end{eqnarray*}$ linear abhängig. Dann existieren $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},....,\lambda_{n} \end{eqnarray*}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray*} {\lambda_1\cdot v_{1}+\lambda_{2}\cdot v_{2}+....+\lambda_{n}\cdot v_{n}=0} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1,..\lambda_n\neq0 \end{eqnarray*}$ , genauer gesagt: es existiert mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also:

$\begin{eqnarray*} T(\lambda_{1} \cdot v_{1} + \lambda_{2} \cdot v_{2}+.....+\lambda_{n} \cdot v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(\lambda_{1} \cdot v_{1}) + T(\lambda_{2} \cdot v_{2})+......+T(\lambda_{n} \cdot v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1} \cdot T(v_{1}) + \lambda_{2} \cdot T( v_{2}) + ....+\lambda_{n}\cdot T(v_{n})=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber laut Voraussetzung mind. ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. das ja dann $\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.......,T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sein müssen. Das ist aber ein Widerspruch zu dem, dass ja $\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, also müssen $\begin{eqnarray*} {v_1,.....v_n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein.

Geht das als Beweis? Das ist das Gleiche wie deins, nur ausgeschrieben?

Wie mache ich das dann mit dem Rang der Matrix? Das bedeutet doch, dass der max. Rang die max. Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist. WIe komme ich jetzt zu dem bijektiv?

Lg
Sandra

Nachtrag: Ich habe jetzt beim Nachschauen gefunden, dass wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bijiektiv ist, dann ist $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ linear. Kann ich das verwenden? Aber wie packe ich den max. Rang da mit ein?

08.12.2008, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
ich hab mal einen indirekten Beweis ausbaldowert Augenzwinkern

Du hast jetzt einen Beweis für eine Aufgabe geliefert, die gar nicht verlangt war, nämlich zu:
$\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow {v_1,.....v_n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Das ist im Grunde die Umkehrung der Aussage in Aufgabe a. Also kein Beweis zu Aufgabe b. Die dort gemachte Aussage ist eh falsch und kann leicht durch ein Beispiel widerlegt werden.

08.12.2008, 09:05

Sandara

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Guten Morgen,

also irgendwie finde ich es nicht unglücklich

Wenn ich a) beweisen will und mir das von Tigerbiene anschaue, dann zeige ich, dass wenn die Vektoren lin. abh. sind, dann gibt es auch bei den Abbildungen ein $\begin{eqnarray*} \lambda_{i}\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Heißt das, ich kann das annehmen, weil durch die Abhängigkeit der Vektoren es immer noch ein solches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gibt? Das geht ja durch die Definitionen bei lin. Abb.bzgl Abgeschlossenheit usw.?

Aber wie erstelle ich ein Gegenbeispiel? Mir fällt da nichts spontan ein, wie ich das machen kann. In der VL haben wir es so noch nicht gemacht und für mich ist das neu.

GRüße
Sandra

08.12.2008, 09:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Heißt das, ich kann das annehmen, weil durch die Abhängigkeit der Vektoren es immer noch ein solches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gibt? Das geht ja durch die Definitionen bei lin. Abb.bzgl Abgeschlossenheit usw.?

Du kannst das nicht annehmen im Sinne von "ich weiß nicht so recht, ob es so ist, aber ich tue einfach mal so." Die Existenz eines derartigen lambdas folgt aus der linearen Abhängigkeit der Vektoren v_1, ..., v_n. Das ist also keine Annahme, sondern eine Tatsache.

Nochmal zum Beweisverfahren: Entweder zeigt man die Aussage der Aufgabe a direkt (siehe tigerbine), oder man zeigt das Gegenteil der Aussage (das hast du in deinem letzten Beitrag gemacht, aber wohlgemerkt: Aufgabe a, nicht Aufgabe b).

Zitat:

Original von Sandara
Aber wie erstelle ich ein Gegenbeispiel? Mir fällt da nichts spontan ein, wie ich das machen kann. In der VL haben wir es so noch nicht gemacht und für mich ist das neu.

Ein simples Gegenbeispiel hat tigerbine schon genannt. Also lesen mußt du die Beiträge schon. unglücklich

08.12.2008, 10:05

Sandara

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Ich lese die Beiträge sehr wohl, aber ich hab es einfach noch nicht verstanden unglücklich

Zitat:

Original von klarsoweit:
Du kannst das nicht annehmen im Sinne von "ich weiß nicht so recht, ob es so ist, aber ich tue einfach mal so."

Ich kenne es alles anders von der Schule her und daher tu ich mir noch schwer. Ich weiß, dass es zwei Bedingungen für eine lineare Abb. gibt, einmal bzgl. Homogenität und einmal Additivität. Ich muss mich erst dran gewöhnen, dass wenn es eine lineare Abb. ist ( also vorgegeben ist), dass dann diese Bedingungen gelten und nicht mehr speziell gezeigt werden müssen. Das ist der Unterschied zu meinem Matheunterricht Augenzwinkern

Mal zu a)

Dann ist es andersrum als mein Beweis vorher und in Anlehnung an Tigerbiene hieße das:

$\begin{eqnarray*} v_{1},.....v_{n} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, also $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot v_{1}+.....+ \lambda_{n} \cdot v_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei mind. ein $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \in \lambda_{1},....,\lambda_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Meine Annahme wäre dann, dass $\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot T(v_{1})+......+\lambda_{n} \cdot T(v_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Da linear unabhängig, sind $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},....\lambda_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} T(\lambda_{1} \cdot (v_{1}))+....+T(\lambda_{n} \cdot (v_{n})) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow T(\lambda_{1} \cdot v_{1} + ...... + \lambda_{n} \cdot v_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$

Das aber wiederum bedeutet ja, dass durch die lineare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_{1},...v_{n} \end{eqnarray*}$ nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ sein können. Da man aber angenommen hat, dass $\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, ist das ein Widerspruch.

Ginge das so?

Grüße
Sandra

Nachtrag: Und ich überlege schon seit gestern, wie ich das mit der Abbildung alles auf 0 in b) machen soll. Das hieße, ich kann eine Abbildung finden, die linear unabhängige Vektoren
auf linear abhängige Vektoren abbildet, in dem Fall Nullvektoren. Dann bildet $\begin{eqnarray*} (v_{1},....,v_{n}) \to T(0) \end{eqnarray*}$ ab?

Mann, in der Schule war ich nicht so schwer von Begriff traurig

08.12.2008, 10:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Meine Annahme wäre dann, dass $\begin{eqnarray*} T(v_{1}),.....T(v_{n}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot T(v_{1})+......+\lambda_{n} \cdot T(v_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Da linear unabhängig, sind $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},....\lambda_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das Problem fängt schon mit den Bezeichnungen der Variablen an. Du kannst an dieser Stelle nicht nochmal lambdas nehmen. Also ich überarbeite das jetzt mal:

(I) Angenommen es sind $\begin{eqnarray*} T(v_1),.....T(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdot T(v_1) +......+ \alpha_n \cdot T(v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} \alpha_1,....\alpha_n = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot v_1 + ...... + \lambda_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ ist, folgt: $\begin{eqnarray*} T(\lambda_1 \cdot v_1 + ...... + \lambda_n \cdot v_n) = T(0) = 0 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} T(\lambda_1 \cdot v_1) + .... + T(\lambda_n \cdot v_n) = 0 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot T(v_1) + .... + \lambda_n \cdot T(v_n) = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen (I) folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = .... = \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$ . Also sind die Vektoren v_1, ..., v_n linear unabhängig. Dies steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung.

Alternativ geht auch das:

Die Vektoren sind laut Voraussetzung $\begin{eqnarray*} v_{1},.....v_{n} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, also gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot v_{1}+.....+ \lambda_{n} \cdot v_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \in \{\lambda_{1},....,\lambda_{n}\} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Angenommen es sind $\begin{eqnarray*} T(v_1),.....T(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Dann muß $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot T(v_1) + .... + \lambda_n \cdot T(v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, da sonst wegen der linearen Unabhängigkeit alle lambdas Null sein müßten.

Also ist: $\begin{eqnarray*} T(\lambda_1 \cdot v_1) + .... + T(\lambda_n \cdot v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} T(\lambda_1 \cdot v_1 + .... + \lambda_n \cdot v_n) \neq 0 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} T(0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dies steht im Widerspruch, daß bei jeder linearen Abbildung T T(0) = 0 ist.

Zitat:

Original von Sandara
Nachtrag: Und ich überlege schon seit gestern, wie ich das mit der Abbildung alles auf 0 in b) machen soll. Das hieße, ich kann eine Abbildung finden, die linear unabhängige Vektoren
auf linear abhängige Vektoren abbildet, in dem Fall Nullvektoren. Dann bildet $\begin{eqnarray*} (v_{1},....,v_{n}) \to T(0) \end{eqnarray*}$ ab?

Nein, nicht so. Die Abbildung T bildet alle Vektoren auf den Nullvektor ab. Natürlich auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{1},....,v_{n} \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{1},....,v_{n} \end{eqnarray*}$ selbst bilden nichts und niemanden ab. Das sind eben Vektoren und keine Abbildung.

08.12.2008, 11:27

Sandara

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Ah.....das ist natürlich viel nachvollziehbarer mit zwei unterschiedlichen Variablen *danke*.

zu b)

Richtig geschrieben heißt das?

$\begin{eqnarray*} T(v_{1},.....,v_{n}) \to \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Mir schwirrt so viel im Kopf rum. In der Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} T : V \to W \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung T bildet also alle Vektoren aus V ( ich finde das Teilmengenzeichen in Latex nicht) auf den $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ ab.

kann ich da dann so weitermachen, dass $\begin{eqnarray*} T(v_{1}) +....+T(v_{n})= \vec{0} \end{eqnarray*}$ ?

Dann ginge es weiter mit dem Zeigen, wann der NUllvektor rauskommt? UNd da komme ich nicht weiter......wenn das überhaupt der passende Weg ist *seufz*. Weil ich käme dann wieder an den Punkt zu sagen, dass nur dann der Nullvektor rauskommt, wenn der Koeffizient Null ist oder die Vektoren selbst? Meine Gedanken gehen dahin, dass wenn die Vektoren schon linear unabhängig sind, dann sind die Koeffizienten schon = 0. Dann müssten, wenn die Abb. T(v) ebenfalls linear unabh. sein sollten, ja auch die Koeffizienten = 0 sein? Okay, ich weiß jetzt zwar, dass die Abb. T(v) nicht lin. unab. ist, also die Koeffizienten ungleich 0, aber wie bring ich das in EInklang mit dem Nullvektor?

Grüße
Sandra

08.12.2008, 12:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Richtig geschrieben heißt das?

$\begin{eqnarray*} T(v_{1},.....,v_{n}) \to \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Nein. Die Abbildung T wird definiert als T: V --> W, $\begin{eqnarray*} v \rightarrow T(v) = \vec 0 \end{eqnarray*}$ .

Und dann machst du es dir komplizierter, als es ist. unglücklich

Mit dieser Abbildung T ist $\begin{eqnarray*} T(v_1) = ... = T(v_n) = \vec 0 \end{eqnarray*}$

Da Familien von Vektoren, die den Nullvektor enthalten, immer linear abhängig sind, sind also T(v_1), ..., T(v_n) linear abhängig. Damit ist die Behauptung widerlegt.

08.12.2008, 14:10

Sandara

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Zitat:

Original von klarsoweit:
Und dann machst du es dir komplizierter, als es ist

Ich weiß

, das passiert mir im Moment laufend, egal ob es um Mathe geht oder um das Programmieren.....

Danke dir vielmals für deine Hilfe.

UNd weil es einfach noch offen ist: Der Rang einer Matrix ist ja die Anzahl unabh. Spalten-/ Zeilenvektoren. Aber ich kann hier nicht mit der Inversen arbeiten, oder?

Grüße
Sandra

08.12.2008, 14:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Aber ich kann hier nicht mit der Inversen arbeiten, oder?

Im Prinzip schon. Was bedeutet es denn für die Anzahl der Zeilen und Spalten, wenn die Matrix maximalen Rang hat?

08.12.2008, 20:34

Sandara

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Hi,

zurück von der Uni, kann ich jetzt reagieren.

Der maximale Rang der Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- und Zeilenvektoren, wenn ich das nicht falsch verstanden habe. Eine Matrix hat immer gleich viel unabhängige Spaltenvektoren wie lin. unabhängige Zeilenvektoren.

GRüße
Sandra

09.12.2008, 09:27

klarsoweit

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Kann die Matrix mehr Zeilen als Spalten oder umgekehrt haben?

09.12.2008, 12:05

Sandara

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Ja, das kann sie haben. Eine mxn Matrix wäre das ja dann.

Aber wie packe ich das in den Beweis? Bijektiv wäre doch, dass jede Funktion genau ein Bild hat und jedes Bild ein Urbild?

Grüße
Sandra

09.12.2008, 12:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sandara
Ja, das kann sie haben. Eine mxn Matrix wäre das ja dann.

Aber hätte eine derartige Matrix maximalen Rang? Also der Rang - das ist klar - ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten- und Zeilenvektoren. Aber maximaler Rang? Das solltest du erstmal klären.

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Lineare (Un-)Abhängigkeit: Vektoren und lin. Abb.

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