Komplexe Zahlen, Skizze

07.12.2008, 21:32

maexen

Komplexe Zahlen, Skizze

Hey,

im folgenden verwende ich "c" für "z quer"
Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen sie und skizzieren sie den durch
Im(1/(iz))*[Re(c(z-2i))+4Re z] < 0 , z element C und z ungleich 0
beschr. Bereich der gaußschen Zahlenebene.

Durch umformen habe ich x+4-y²/x+2y/x < 0 erhalten. Ich hab das doofe Gefühl, dass das nicht so ganz richtig ist. Kann mir da jemand weiterhelfen? Wenns richtig ist, was soll das denn darstellen? Danke im Voraus.

08.12.2008, 06:53

Leopold

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Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} x \left( x^2 + 4x + y^2 - 2y \right) > 0 \end{eqnarray*}$

Und hier kann man sowohl die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Glieder als auch die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Glieder in der Klammer quadratisch ergänzen. Da das Produkt zweier reeller Zahlen genau dann positiv ist, wenn beide Zahlen entweder positiv ( $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ) oder negativ ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) sind, ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von der Form

$\begin{eqnarray*} M = \left( A_p \cap B_p \right) \cup \left( A_n \cap B_n \right) \end{eqnarray*}$

08.12.2008, 15:58

maexen

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Zitat:

Original von Leopold
Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} x \left( x^2 + 4x + y^2 - 2y \right) > 0 \end{eqnarray*}$

Und hier kann man sowohl die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Glieder als auch die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Glieder in der Klammer quadratisch ergänzen. Da das Produkt zweier reeller Zahlen genau dann positiv ist, wenn beide Zahlen entweder positiv ( $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ) oder negativ ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) sind, ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von der Form

$\begin{eqnarray*} M = \left( A_p \cap B_p \right) \cup \left( A_n \cap B_n \right) \end{eqnarray*}$

Auf den Teil in den Klammern komme ich (inzwischen^^) auch, allerdings nicht auf das x davor. Wie kommst du darauf? Und v.a. wieso ist das alles >0? Ich hab da
Im 1/(ix-y) = Im (-ix-y )/( (ix-y)*(-ix-y) ) [konj. erweitert] = Im (ix-y)/(x²+y²) = -x/(x²+y²)
Hilf mir weiter^^
Der hintere Teil ergibt umgeformt (x+2)²+(y-1)²-5, also eine Kreisgleichung, allerdings ist als Lösung für den gesamten Teil
( (x+2)²+(y-1)²>5 und x>0 ) oder ( (x+2)²+(y-1)²<5 und x<0 )
angegeben, also muss da irgendwo anscheinend eine Fallunterscheidung gemacht werden?! Ich blick das nicht.. ansonsten stimmt das ja alles.

09.12.2008, 13:24

Leopold

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Multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ durch (das ist eine positive Größe), dann auch mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ (negative Größe).

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