Christoffel-Symbole

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Christoffel-Symbole
Hi!

Es geht um die Christoffelsymbole, die wir wie folgt eingeführt haben:



Dabei sei (mit <> als Skalarprodukt)

.

Meine Frage ist eigentlich nur, wie man die Christoffel-Symbole berechnen kann, z.B.

.

Soweit ich das verstanden habe, liegt die obige Definition in der Einstein-Konvention vor und ich summiere über l. Die Frage ist aber, wie weit läuft denn l???

Beispiel: Christoffel-Symbole von



bestimmen. Dann habe ich ja .

Wovon hängt der Laufparameter l denn ab?

Danke für eure Hilfe.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
Alle Indizes des Christoffelsymbols durchlaufen die Indexmenge, mit der die Basisvektoren bezeichnet sind, also z.B. 1 und 2 bei einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit oder 0, 1, 2, 3 bei einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, wenn man die Basisvektoren mit bezeichnet - und der Summationsindex ebenso: Dessen Wertevorrat ist genau gleich dem Wertevorrat der Indizes des Metriktensors und seiner kovarianten Ableitung , da nur nach vorhandenen Richtungen abgeleitet werden kann und diese Richtungen lokal von den Basisvektoren aufgespannt werden.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
@Raumpfleger: Vielen Dank für deine Antwort. Im konkreten Fall würde das also heißen:

Der Index läuft bis 2...



Stimmt das so???
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
Zitat:
Original von vektorraum
Es geht um die Christoffelsymbole, die wir wie folgt eingeführt haben:




Nicht wirklich, da stimmt das sogenannte Indexbild nicht, deshalb hast Du Dich wahrscheinlich damit schwergetan:



sollte es heissen, die Einsteinsummationskonvention funktioniert derart, dass über doppelt vorkommende Indizes (je einmal auf kovarianter und einmal auf kontravarianter Position) summiert wird und die verbleibenden Indizes an allen Stellen der Formel dasselbe Transformationsverhalten haben (also z.B. k ist entweder ko- oder kontravariant auf allen Seiten der Gleichung). Für zwei Dimensionen musst Du einfach in die Bestimmungsgleichung (mit dem richtigen Indexbild) einsetzen und für l = 1 einen Ausdruck sowie für l = 2 einen weiteren Ausdruck bilden.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
Danke erstmal für deine Antworten. Jetzt sollten wir ein konkretes Beispiel berechnen, dass wir aber in der Übung nicht besprochen haben, da unser Dozent derzeit krank ist.

Berechnen Sie die Christoffelsymbole für den Rotationstorus mit der Parametrisierung:



für und untersuchen Sie mit Hilfe der Christoffelsymbole welche der Parameterkurven u=const. bzw. v=const Geodätische sind.

Ich habe zuerst die Christoffel-Symbole berechnet und da ist



und



Alle anderen Symbole müssten Null sein.

Stimmt das erstmal soweit? Wie ist das aber nun mit der Geodätischen? Soll ich da über die Geodätengleichung gehen und einfach mal einsetzen??? Was ist meine Kurve c=c(t).

Danke für die Hilfe.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
Zitat:
Original von vektorraum

Stimmt das erstmal soweit?


Das müsste ich allenfalls zu Haus nachrechnen ...

Zitat:
Original von vektorraum

Wie ist das aber nun mit der Geodätischen? Soll ich da über die Geodätengleichung gehen und einfach mal einsetzen??? Was ist meine Kurve c=c(t).



Die Gleichung für die Geodäte in der Riemanngeometrie



habt ihr hergeleitet? Die Geodäten sind die kürzesten (und gleichzeitig auch geradesten) Linien in der (Riemann-)Mannigfaltigkeit, die zwei gegebene Punkte verbinden, also hier auf dem Torus. Die u= const und die v=konst sind Linien, die entweder um das Loch im Torus herumlaufen oder senkrecht dazu um den Torus laufen. Das sind Deine Kurven . Diejenigen, die die Geodätengleichung erfüllen, sind die Geodäten. Man hat natürlich sofort eine Vermutung, welche das bei einem Torus sein könnten.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Christoffel-Symbole
Schon eine ganze Weile her der Thread, aber in Vorbereitung auf die Klausur bin ich nochmal auf diese Aufgabe gestoßen.

Mit den Christoffel - Symbolen ist mir mittlerweile klar. Jetzt nochmal die gleiche Frage mit den Geodätischen, d.h. u=const und v=const.

Wie kann man da Schritt für Schritt rangehen?
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