Fragen bezüglich Stammfunktionen, e-Funktionen und Ableitungen

08.12.2008, 12:11

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Fragen bezüglich Stammfunktionen, e-Funktionen und Ableitungen

Hallo!

Ich mach grad ein paar Übungen für die morgige Klausur und hab da ein paar Probleme bei Funktionsgleichungen.

Zu allererst mal:
Stimmen diese beiden Ableitungen und die dazugehörige Stammfunktion?

1.)
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{e^x} + \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ (für die Stammfunktion hab ich das dann noch umgeschrieben: $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}x}+2x^{-1} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} e^{ \frac{1}{2} x}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} e^{ \frac{1}{2} x}=\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}=\frac{1}{8} e^{\frac{1}{2} x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{\frac{1}{2} }e^{\frac{1}{2} x}=2e^{\frac{1}{2} x} \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x-5}{5x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{20x-9}{(5x-2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1500x^2-1450x-660}{(5x-2)^4} \end{eqnarray*}$
kommt mir falsch vor, und ich hab auch keine dritte Ableitung ausgerechnet, weil mir so ein Ding dann doch zu groß ist ^^
Ich komm da aber auch nicht auf die Stammfunktion. Ich hab hier ne Regel in meinem Heft stehn, aber ich glaub, für die Funktion hier ist es die falsche:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{kx+z} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{k} ln(\mid kx+z \mid ) \end{eqnarray*}$

Meine nächste Frage bezieht sich auch auf die Stammfunktion. Ich frag mich, wo auf einmal der ln herkommt, bis jetzt sind wir doch auch immer ohne ausgekommen verwirrt

verwirrt

Vielleicht seh ich ja den Unterschied nicht, aber woran liegt das? ^^
Man nimmt ja ln|x|, bei dem Betrag haben wir aber immer genau den Wert eingesetzt, der gegeben war (z.B. bei ner Flächenberechnung von -e bis -1 haben wir einfach ln|-1| und ln|-e| eingesetzt. Ich hab aber noch irgendwas im Hinterkopf, dass man immer den gegenteiligen Wert einsetzt, also da z.B. statt -e einfach e und statt -1 1 (den ln von ner negativen Zahl kann man ja sowieso nicht errechnen...)).

Kann mir da vielleicht mal jemand die richtigen Regeln erklären?

08.12.2008, 12:15

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1)

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Entsprechend hast du dann mehrere Folgefehler. Bei der Integration hast du den Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ dann gleich ganz unterschlagen.

08.12.2008, 12:23

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

autsch -.- stimmt...

also dann nochmal:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}+\frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{4} e^{\frac{1}{2} x}+\frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{1}{8} e^{\frac{1}{2} x}+\frac{2}{x^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=2 e^{\frac{1}{2}}+2ln|x| \end{eqnarray*}$
Stimmt da die Stammfunktion?

Und bei den anderen Sachen, die mir total unklar sind? ^^

08.12.2008, 12:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der zweiten Ableitung stimmt ein Vorzeichen nicht und bei der Stammfunktion fehlt ein x im Exponenten.

EDIT: ich war fälschlicherweise davon ausgegangen, daß die 1. Ableitung richtig ist. Also stimmt das Vorzeichen, aber nicht der Zähler.

08.12.2008, 12:32

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

bei F(x) hab ich das wohl aus Versehen weggelassen...

bei f''(x) müsste es dann ein - vor dem 2/x^3 sein.
Bleibt die 2 eigentlich immer so stehen oder verändert die sich mit?

08.12.2008, 12:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von caps
Bleibt die 2 eigentlich immer so stehen oder verändert die sich mit?

Richtig, das habe ich glatt übersehen. Hammer

Hammer

Die ändert sich natürlich auch. Am besten schreibt man solche Terme mit negativem Exponenten. Dann kann gar nichts passieren.

Anzeige

08.12.2008, 12:54

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=2/x=2*x^(-1)
f'(x)=-2*x^(-1-1)=-2*x^(-2)
f''(x)=-2*-2*x^(-2-1)=-4*x^(-3)
f'''(x)=12*x^-4
Richtig?

08.12.2008, 13:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vorzeichen bei der 2. und 3. Ableitung stimmt nicht. Ich habe diesbezüglich meinen vorvorigen Beitrag korrigiert.

08.12.2008, 13:27

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann bei f'' und f''' gerade umgekehrt. Ok, das hab ich jetzt verstanden! smile

smile

Wie sieht es dann mit der zweiten Funktionsgleichung aus und meiner Frage zum ln?

08.12.2008, 14:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir die Funktion f(x) = 1/x.

Für x > 0 ist dann F(x) = ln(x) + C die Stammfunktion.

Für x < 0 ist F(x) = ln(-x) + C die Stammfunktion.Letzteres ist klar, denn:

$\begin{eqnarray*} F'(x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$

Zusamengefaßt erhält man als Stammfunktion: F(x) = ln(|x|) + C .
Man muß allerdings dabei beachten, daß man nicht über x=0 hinweg integriert. Die Stammfunktion ist ja auch nicht für x=0 definiert.

Was die Regel in deinem Heft angeht, ist die ok.

08.12.2008, 14:35

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die 2. Aufgabe denn soweit richtig? Und wie komme ich da dann auf die Stammfunktion? Mit der Formel komm ich da nämlich nicht weiter... Erstaunt1

Erstaunt1

Kannst du dir dann mal die Aufgabe hier anschauen? Da komm ich nämlich nicht weiter:

f(x)=5/x

gesucht ist eine Fläche (hier von -e bis -1)

Bis jetzt bin ich so weit:
$\begin{eqnarray*} A=\int_{-e}^{-1}~\frac{5}{x}~dx = [5ln|x|]_{-e}^{-1} = 5ln(-1)-(5ln(-e)) \end{eqnarray*}$

Damit würde ich aber doch was berechnen wollen, was gar nicht geht, oder?

08.12.2008, 14:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja jetzt auch einfach die Betragsstriche weggelassen. unglücklich

unglücklich

08.12.2008, 14:40

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Die hab ich (bzw. meine ganze Klasse) immer weggelassen! Also wenn ich was an der Tafel ausrechnen musste, hab ich das die Striche noch nie hingemacht und es wurde nie beanstandet o.O

08.12.2008, 14:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, einmal ist immer das erste Mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst eben die Betragsstriche nicht weggelassen. Das geht nur, wenn die Zahl zwischen den Betragsstrichen nicht negativ ist.

08.12.2008, 14:46

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ^^ Wenn ich mir die Rechnungen so anschaue, ist die hier auch die erste MIT negativen Zahlen... Ups

Ups

Kann ich dann statt der Betragsstriche und der negativen Zahlen auch einfach die positive Zahl einsetzen? Ne Fläche kann ja so oder so nicht negativ werden ^^

08.12.2008, 14:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Im Argument von dem ln müssen Betragsstriche stehen. Wenn du dann eine Fläche berechnen willst, mußt du von dem Endergbenis den Betrag nehmen.

08.12.2008, 15:06

caps (ausgeloggt)

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha. Alles klar!

Kannst du dir dann mal noch die zweite Aufgaben mit den Ableitungen anschauen und mir mal den Ansatz für die Stammfunktion geben? Wie mach ich das denn mit der Formel, wenn im Zähler auch noch ein x steht?

08.12.2008, 15:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von caps (ausgeloggt)
Kannst du dir dann mal noch die zweite Aufgaben mit den Ableitungen anschauen

Die erste Ableitung ist falsch.

Zitat:

Original von caps (ausgeloggt)
und mir mal den Ansatz für die Stammfunktion geben?

Von f(x) oder was ist gemeint?

Zitat:

Original von caps (ausgeloggt)
Wie mach ich das denn mit der Formel, wenn im Zähler auch noch ein x steht?

So umformen bis das x im Zähler verschwindet.

08.12.2008, 17:00

caps

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die erste Ableitung falsch ist, dürfte wohl auch die zweite nicht stimmen?!

also nochmal die erste:
f(x)=(2x-5)/(5x-2)

f'(x)=(2*(5x-2)-(2x-5)*5)/(5x-2)^2
=(10x-4-(10x-25))/(5x-2)^2
=(10x-4-10x+25)/(5x-2)^2
=21/((5x-2)^2

Da hab ich beim ersten Mal wohl aus Versehen u'v+uv' im Zähler gerechnet.

Wenn ich (mal angenommen, sowas gibt es überhaupt *g*) ln|-5| habe und das dann quadrieren will, schreib ich dann trotzdem ln|-5|^2 oder was mach ich da mit den Betragsstrichen?

Die zweite Frage hat sich mit deiner letzten Antwort erübrigt ^^

um die Stammfunktion von f(x)=(2x-5)/(5x-2) rauszubekommen, muss ich also das x aus dem Zähler kriegen. Heißt also, ich multiüliziere mit (5x-2) durch. Dann hab ich ja nur noch 2x-5 dastehen und eine Stammfunktion davon wäre demnach F(x)=x^2-5x+c.
Kann das denn so sein??

Wenn ich das umformen würde zu f(x)=(2x-5)*(5x-2)^-1 bekäme ich ne völlig andre Stammfunktion raus... Wäre diese hier dann richtig?
=> F(x)=-(2x-5)*(5x-2)^-2
Muss ich das in den Klammern auch berücksichtigen oder bleibt das so stehen, wie ich das geschrieben habe?

08.12.2008, 21:22

caps (n.e.)

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir da denn niemand helfen? Gott

Gott

08.12.2008, 22:27

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

um die Stammfunktion von f(x)=(2x-5)/(5x-2) rauszubekommen, muss ich also das x aus dem Zähler kriegen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-5}{5x-2} = \frac{2x}{5x-2} - \frac{5}{5x-2} \end{eqnarray*}$

1. Teil

$\begin{eqnarray*} \int\frac{2x}{5x-2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{5x-2} = \frac{5x}{5(5x-2)} = \frac{5x-2+2}{5(5x-2)} = \frac{5x-2}{5(5x-2)} + \frac{2}{5(5x-2)} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5x-2} \end{eqnarray*}$

2. Teil

$\begin{eqnarray*} \int\frac{5}{5x-2}~dx \end{eqnarray*}$

Substituiere $\begin{eqnarray*} u(x) = 5x-2 \end{eqnarray*}$

09.12.2008, 08:50

caps ne

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber DAMIT kann ich absolut nix anfangen! wo kommt dieses x/(5x-2) her und warum ist das das gleiche wie 5x/(5*(5x-2)?!

Naja ist jetzt ja sowieso zu spät

09.12.2008, 09:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von outSchool
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-5}{5x-2} = \frac{2x}{5x-2} - \frac{5}{5x-2} \end{eqnarray*}$

Das macht man auch etwas anders:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-5}{5x-2} = \frac{10x-25}{5 \cdot (5x-2)} = \frac{10x-4}{5 \cdot (5x-2)} - \frac{21}{5 \cdot (5x-2)} = \frac{2}{5} - \frac{21}{5} \cdot \frac{1}{5x-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man u = 5x-2 substituieren.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »