Basis Kern und Bild

08.12.2008, 15:13

brainfever

Basis Kern und Bild

Sei $\begin{eqnarray*} f: R^4 \rightarrow R^4 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f((x_1, x_2, x_3, x_4))=(-x_1+2x_2+4x_4,4x_2+3x_3+8x_4,x_1+4x_4,2x_2+3x_3) \end{eqnarray*}$

Bestimme je eine Basis von $\begin{eqnarray*} ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} im(f) \end{eqnarray*}$ .

Dafür muss ich zuerst Kern und Bild bestimmen und dann je eine Basis.

Dazu stelle ich ein LGS auf:

Hier um den Kern zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} -x_1+2x_2+4x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x_2+3x_3+8x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+4x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2+3x_3=0 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

08.12.2008, 15:26

klarsoweit

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RE: Basis Kern und Bild
Ja.

09.12.2008, 15:45

brainfever

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Kann es sein, daß ich für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bekomme bzw., daß das richtig ist?

Dann würde der Vektor $\begin{eqnarray*} (0, 0, 0, 0) \end{eqnarray*}$ den Kern aufspannen.
Wie würde ich dann eine Basis des Kerns berechnen?

Und um das Bild zu berechnen, kann ich dieses LGS in Matrixform anschreiben und dann umformen und die Zeilen, die nicht zur Nullzeile werden, sind dann die Bilder.
Ist das so richtig?

09.12.2008, 15:59

klarsoweit

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(0, 0, 0, 0) ist eine mögliche Lösung. Dies ist auch kein Wunder, denn der Nullvektor ist immer im Kern eine linearen Abbildung. Ich könnte noch (12, 12, -8, -3) anbieten. Und noch viele, viele andere Vektoren. smile

Also jetzt solltest du dir mal anschauen, wie man ein lineares Gleichungssystem löst.

09.12.2008, 16:32

brainfever

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Wenn ich dieses LGS löse, komme ich immer zuerst darauf, daß:

$\begin{eqnarray*} x_1=-4x_4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich ja z.B. sagen, daß $\begin{eqnarray*} x_1=12 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} x_4=-3 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Wenn ich jetzt also den Vektor $\begin{eqnarray*} (12, 12, -8, -3) \end{eqnarray*}$ habe, dann ist das doch erst ein Vektor, der den Kern aufspannt.
Wie soll ich jetzt daraus eine Basis des Kerns berechnen?

Und würde die von mir genannte Methode funktionieren, um das Bild bzw. die Bilder zu berechnen?

09.12.2008, 16:51

wuoatde

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muss der kern mehrdimensional sein? reicht nicht vielleicht ein vektor aus?
Daraus kannst du dir dann auch überlegen wieviel dimensionen dein Bild haben soll.
Erinnere dich desweiteren daran, was im(f) bedeutet, geht eigentlich ziemlich ähnlich...

10.12.2008, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von brainfever
Ist das so richtig?

Du kommst zwar auf das richtige Ergebnis. Die methodisch richtige Anwendung des Gauß-Verfahrens ist das aber nicht.

Zitat:

Original von brainfever
Wenn ich jetzt also den Vektor $\begin{eqnarray*} (12, 12, -8, -3) \end{eqnarray*}$ habe, dann ist das doch erst ein Vektor, der den Kern aufspannt.
Wie soll ich jetzt daraus eine Basis des Kerns berechnen?

Das ist die Basis des Kerns, sofern es nicht noch weitere davon linear unabhängige Vektoren gibt, die zum Kern gehören. Ist hier aber nicht der Fall.

Zitat:

Original von brainfever
Und würde die von mir genannte Methode funktionieren, um das Bild bzw. die Bilder zu berechnen?

Bestimme die Bilder der Basisvektoren des R^4 und suche davon eine Basis.

10.12.2008, 11:41

brainfever

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Ist dieses vorgehen trotzdem legitim? Oder ist es reiner Zufall, dass man hier auch quasi durch "herumprobieren" auf das Ergebnis kommt?!

Müsste ich jetzt noch überprüfen, ob es weitere linear unabhängige Vektoren gibt?

Nun zum Bild:

Das Bild wird aus der linearen Hülle der Spalten erzeugt, also habe ich hier dann:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{im}_f=\left\langle \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\4\\0\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\0\\3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4\\8\\4\\0 \end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray*}$

Und dann Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix jetzt umformen und alle Zeilen, die keine Nullzeilen sind, kann ich dann als Basis verwenden?!

10.12.2008, 11:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von brainfever
Müsste ich jetzt noch überprüfen, ob es weitere linear unabhängige Vektoren gibt?

Im Prinzip ja. Zumindest läßt dein Verfahren diese Möglichkeit offen. Das läßt sich eben alles vermeiden, wenn man genauestens das Gauß-Verfahren anwendet.

Zitat:

Original von brainfever
Diese Matrix jetzt umformen und alle Zeilen, die keine Nullzeilen sind, kann ich dann als Basis verwenden?!

Ja.

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