Lebesgue-Integral + Fubini

08.12.2008, 19:47

MondMartin

Lebesgue-Integral + Fubini

Hallo,
wir sollen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ über die Menge $\begin{eqnarray*} M := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1 \} \end{eqnarray*}$ integrieren, also:
$\begin{eqnarray*} \int_{M}f(x,y) d \lambda \end{eqnarray*}$ (lambda is Lesbegue Maß)

Die Menge M ist graphisch ein Halbkreis.

Mein Ansatz war nun:
$\begin{eqnarray*} \int_{M}f(x,y) d \lambda = \int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}f(x,y)dy dx \end{eqnarray*}$ was ja nach dem Satz von Fubini geht (oder?).

Da man das Integral so noch nich ausrechnen kann, hab ich eine Variablentransformation gemacht und x,y als Polarkoordinaten ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}f(x,y) \ dy dx = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} f(r \sin(\varphi),r \cos(\varphi))\cdot r \ dr \ d\varphi \end{eqnarray*}$

Denn die Menge M ist ja nichts anderes als $\begin{eqnarray*} M = \{ (r \sin(\varphi), r \cos(\varphi)) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \varphi \leq \pi \} \end{eqnarray*}$ ist.

Das Problem ist nun aber:
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}f(x,y)dy dx \end{eqnarray*}$ per Maple berechne, dann wird dieser Wert mit 0,96... approximiert (dieser Wert kann nur von Maple approximiert werden).

Berechne ich stattdessen $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} f(r \sin(\varphi),r \cos(\varphi))\cdot r \ dr \ d\varphi \end{eqnarray*}$ per Hand und/oder Maple, erhalte ich 1,08... als Ergebnis (diesen muss man nicht annähern), also eine Differenz von 0,12 was mir einfach zuviel erscheint (oder ist die Approximation wirklich so schlecht von Maple 11, ich glaube eher nicht).

Also muss dort irgendwo ein Fehler liegen.

Ich vermute das das Doppel-Integral vor der Variablen Transformation irgendwie falsch ist, bzw. darf ich dort Fubini überhaupt so wie ich es gemacht habe anwenden?

Wäre schön wenn mir jemand Antworten geben könnte smile

08.12.2008, 19:51

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Wenn du uns noch das konkrete $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nennen würdest, dann können wir dir sicher sagen, welcher der beiden Werte (oder ob überhaupt einer der beiden) richtig ist...

08.12.2008, 20:00

MondMartin

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Hallo,
oh natürlich ^^.

Also: $\begin{eqnarray*} f(x,y) := \frac{1}{1+x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist das erste Integral (ohne Polar. Koord.) als Maple-Befehl:
evalf(int(int(1/(1+x^2+y^2), y=0..1-x^2), x=-1..1));

Entsprechend ist
$\begin{eqnarray*} f(r \sin(\varphi),r \cos(\varphi))\cdot r = \frac{r}{1+r^2} \end{eqnarray*}$

Dieses dann über r=0..1 integriert ist $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(2)}{2} \end{eqnarray*}$ also als Ergebnis ingesamt $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(2)}{2}\pi \end{eqnarray*}$

Oder wieder als Maple Befehl:
int(int(r/(1+r^2), r=0..1), p=0..Pi);

08.12.2008, 20:07

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Zitat:

Original von MondMartin
evalf(int(int(1/(1+x^2+y^2), y=0..1-x^2), x=-1..1));

Hast du da nicht was vergessen?

evalf(int(int(1/(1+x^2+y^2), y=0..sqrt(1-x^2)), x=-1..1));

08.12.2008, 20:10

MondMartin

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Hallo,

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat: