Differenzierbarkeit im Nullpunkt

08.12.2008, 21:20	KDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit im Nullpunkt Hallo bin am lösen der folgenden Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} x\sin\frac{1}{x} & \text{für }x\neq 0 \\ 0 & \text{für }x=0 \end{cases} \end{eqnarray}$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Bin dann soweit, dass ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{xsin\frac{1}{x}-0}{x-0}= \lim_{x \to x_0}\sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ auf obiges komme. Nur so ganz was ich damit jetzt gezeigt habe ... fehlt mir irgendwie. Woran sehe ich jetzt ob die Geschichte im Nullpunkt diff'zierbar ist?
08.12.2008, 21:24	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gezeigt hast du noch gar nichts. Du musst ja zeigen, dass dieser Grenzwert existiert oder nicht existiert. air
08.12.2008, 21:30	KDK	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie? ... der Grenzwert müsste doch 0 sein oder nicht?
08.12.2008, 21:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte er das? (Nein, ist er nicht) air
08.12.2008, 21:48	KDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil der Grenzwert der konstanten Folge 1/n = 0 ist. Sin (0) dürfte also auch 0 sein?
08.12.2008, 21:56	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ mag ja stimmen. Aber das hast du hier nicht, denn hier ist $\begin{eqnarray} x \to 0 = x_0 \end{eqnarray}$ , und für diesen Grenzübergang divergiert o.g. Folge gegen $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ (je nachdem, ob links- oder rechtsseitiger Grenzwert). Und dann kannst du dich fragen, was dann mit dem Sinus passiert. ) Warum das bei dir eine 'konstante' Folge ist, ist mir allerdings ein Rätsel air
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08.12.2008, 22:00	KDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition aus einem Buch ... Thx, also ist die Funktion im Nullpunkt nicht differenzierbar.
08.12.2008, 22:22	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du richtig argumentierst, ja. Noch wären wir hier nicht fertig, denn du musst schon begründen, dass der Sinus im Unendlichen divergiert. air

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