Folgen und Reihen

09.12.2008, 14:01

FrankyHill

Folgen und Reihen

Hallo,

habe zwei Aufgaben wo ich nicht recht weiß was getan werden soll.

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{2}{5^{k}} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{9} +\frac{4}{27} +\frac{8}{81} +\frac{16}{243} + \end{eqnarray*}$

In der Aufgabenstellung heißt es nur : Berechnen sie!!! Aber was? Den Grenzwert oder auf Konvergenz prüfen??

Mfg Franky

09.12.2008, 14:02

klarsoweit

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RE: Folgen und Reihen
Beides. Augenzwinkern

09.12.2008, 14:33

prinzschleifer

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Wenn es einen Grenzwert gibt, dann ist die Reihe konvergent, sie konvergiert also.
Wenn Konvergenz vorherrscht, dann existiert auch ein Grenzwert.

Wie bereits klarsoweit geschrieben hat, mach beides und du kommst zu ein un dem selben Ergebnis smile

09.12.2008, 16:01

Rare676

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Tipp: geometrische Reihe Augenzwinkern

11.12.2008, 13:30

FrankyHill

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Zu Aufgabe 2)

Habe herausbekommen das es eine geometrische Folge ist die den identischen Quotienten

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

besitzt. Wie gehe ich jetzt weiter vor?

11.12.2008, 14:06

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{2}{5^{k}} = 2\cdot \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{5^k} = 2\cdot \sum_{k=0}^\infty~\left(\frac{1}{5}\right)^k \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
Wie gehe ich jetzt weiter vor?

Schreibe das ordentlich als geometrische Reihe hin, dann bekommst du auch den Reihenwert.

11.12.2008, 14:48

FrankyHill

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Also

1)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{2}{5^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{1}{5^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*\sum_{k=0}^\infty ~ (\frac{1}{5} )^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ q^{k}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{5}}= \frac{5}{4}* 2 = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Zu 2)

Habe hier eine geometrische Reihe mit dem Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich jetzt den Grenzwert?

Ist der Quotient mein q also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

und kann ich mit der selben Formel wie bei 1) den Grenzwert berechnen??

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ ??

11.12.2008, 14:54

Zizou66

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Geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das hier

Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ q^{k}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

stimmt nur für $\begin{eqnarray*} 0\leq q<1 \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{5}}= \frac{5}{4}* 2 = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{5}}= \frac{5}{4}* 2 = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von FrankyHill
Ist der Quotient mein q also $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja. Für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_0 \cdot q^k \end{eqnarray*}$ brauchst du noch das a_0.

Zitat:

Original von FrankyHill
und kann ich mit der selben Formel wie bei 1) den Grenzwert berechnen??

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ ??

Im Prinzip ja, wenn du noch das a_0 vor die Summe ziehst.

11.12.2008, 15:00

FrankyHill

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Also das wäre in dem Fall

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{1}{1-q}= \frac{1}{3} * \frac{1}{1-\frac{2}{3} } = 1 \end{eqnarray*}$

Sind geometrische Reihen immer konvergent oder nur im Fall q<1 ??

11.12.2008, 15:15

klarsoweit

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Geometrische Reihen sind immer konvergent für |q| < 1 . smile

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