Differentialgleichungen 2. Ordnung - La Place

01.09.2006, 15:32

Marleen

Differentialgleichungen 2. Ordnung - La Place

Hallo!

Ich mache mich gerade an die La Place Differentialgleichungen heran. Ich habe nicht viel verstanden wie das Prinzip abläuft. Ich habe einen Zettel mit Aufgaben und einen mit einer Tabelle.

Kennt ihr vielleicht im Internet einen guten "How to" oder andere Anleitungen wie man La Place Differentialgleichungen löst? Ist es wirklich so schwierig wie es aussieht?

Einige Aufgaben lauten z. B.:
$\begin{eqnarray*} \frac{d^2y}{dx^2} -8 \frac{dy}{dx} +7y =14 \end{eqnarray*}$
Lösung laut Zettel: $\begin{eqnarray*} y = C_1 e^{7x} + C_2 e^x +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' + 2y' + y = e^{-t} \end{eqnarray*}$
Lösung: $\begin{eqnarray*} y=C_1 e^{-t}+ C_2 te^{-t} + \frac{1}{2} t^2 e^{-t} \end{eqnarray*}$

Löse auf mit La Place: $\begin{eqnarray*} \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} = 0 \end{eqnarray*}$ mit t = 0, x=0, x'=1
Lösung: $\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{4} e^x + \frac{3}{4} e^{-x} + \frac{1}{2} x e^x \end{eqnarray*}$

01.09.2006, 17:13

xrt-Physik

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Zum Lösen von Laplace-Gleichungen benutzt man die Laplace-Transformation. Sie ist auf dieser Internetseite erklärt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation

Schau auf die Korrespondenztabelle, wie man Ausdrücke im DGL laplace-
transformiert, also in andere Ausdrücke umwandelt, dann diese laplace-
transformierte Gleichung umformt und danach die Rücktransformation
macht. Sehr genau darüber musst du nicht so viel darüber wissen.

01.09.2006, 17:53

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Zitat:

Original von Marleen
Löse auf mit La Place: $\begin{eqnarray*} \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} = 0 \end{eqnarray*}$ mit t = 0, x=0, x'=1
Lösung: $\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{4} e^x + \frac{3}{4} e^{-x} + \frac{1}{2} x e^x \end{eqnarray*}$

Ich sehe eine gewisse Unordnung bei den Variablen: Eine DGL für $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ , und dann eine Lösung $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ ??? Fehlt da noch eine Verbindung?

01.09.2006, 18:26

Marleen

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Sorry ich bin in der Zeile verrutscht:

Für

$\begin{eqnarray*} \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} = 0 \end{eqnarray*}$

soll das die richtige Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} x=e^t-1 \end{eqnarray*}$

01.09.2006, 18:48

Marleen

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Zur Differentialgleichung 2. Ordnung, die erste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{d^2y}{dx^2} -8 \frac{dy}{dx} +7y =14 \end{eqnarray*}$

So habe ich gerechnet:

Mit der Mitternachtsformel habe ich das bekommen

$\begin{eqnarray*} y_{n}= C_1 e^{7x} + C_2 e^{x} \end{eqnarray*}$ (homogene Lösung, so nennt es mein Dozent)

Nicht-homogene Lösung:
Rechte Seite:
14 -> $\begin{eqnarray*} y_p = A \end{eqnarray*}$
4x-8 -> $\begin{eqnarray*} y_p = Ax+B \end{eqnarray*}$
x² -> $\begin{eqnarray*} y_p = Ax²+Bx+Cx \end{eqnarray*}$
etc.

$\begin{eqnarray*} y_p = A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_p = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_p=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''_p -8 y'_p + 7 y_p = 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0-0+7y_p =14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=2 \end{eqnarray*}$

Wie sehe ich, ob die Gleichung homogen ist? Die Frage ergibt sich, weil in meinen Unterlagen steht:
Fazit: Keine homogene Lösung -> Algemeine Lösung: $\begin{eqnarray*} y = y_n +y_p= C_1 e^{7x} + C_2 e^{x} + 2 \end{eqnarray*}$

Spekuliere ich richtig wenn auf der rechten Seite eine Null steht, dass dann die Gleichung homogen ist?

01.09.2006, 18:50

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Zitat:

Original von Marleen
Spekuliere ich richtig wenn auf der rechten Seite eine Null steht, dass dann die Gleichung homogen ist?

Schön formuliert. Augenzwinkern

Aber ja, es ist richtig, allerdings sollte das der Dozent klar und deutlich so erklärt haben!

01.09.2006, 19:00

Marleen

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Hmm, hat dann homogen verschiedene Bedeutungen?

Bei der 1. Ordnung der Differentialrechnung, gab es den Begriff auch, wenn die Gleichung homogen ist, dann:

$\begin{eqnarray*} y = u x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dy = x du +u dx \end{eqnarray*}$

Homogen hieß aber dann, zwischen jedem plus und minus Zeichnen die Graden der Variablen zusammen zählen, stimmen sie überein, dann ist die Gleichung homogen, also:
$\begin{eqnarray*} (4x²y^1 +8y²x^1 + x^3)dy = y^3 dx \end{eqnarray*}$

01.09.2006, 19:42

Marleen

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wie formt ihr $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ um?

Ist $\begin{eqnarray*} Ax^2 + Bx + C \end{eqnarray*}$ korrekt?

02.09.2006, 22:05

Ulli Gast

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Durch Laplacetransformation der DGL

$\begin{eqnarray*} x^{''}(t) -x^{'}(t) = 0 \end{eqnarray*}$

mit den Anfangswerten $\begin{eqnarray*} x(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{'} (0) = 1 \end{eqnarray*}$

erhält man

$\begin{eqnarray*} s^{2} \cdot F(s)- s- s\cdot F(s)= 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{s}{ s^{2} -s} \end{eqnarray*}$

Umformen von $\begin{eqnarray*} F(s) \end{eqnarray*}$ führt zu

$\begin{eqnarray*} F(s)=-1 +\frac{s}{s-1} \end{eqnarray*}$

daraus folgt aus der Transformationstabelle für Laplacefunktionen

$\begin{eqnarray*} x(t)= -1 + e^t \end{eqnarray*}$

also die gewünschte Lösung.

Probe:

$\begin{eqnarray*} x^{'}(t)= e^t \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x^{''}(t) = e^t \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} x^{''}(t) -x^{'}(t) = 0 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} x(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x^{'}(0) = 1 \end{eqnarray*}$

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