Einschränkung/Isomorphismus

09.12.2008, 16:47

katatonie

Einschränkung/Isomorphismus

Hallo!

Es sei $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine surjektive lineare Abbildung des K-Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf den K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Komplement von $\begin{eqnarray*} ker(f) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist.

Was genau ist die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ?
Ich denke mal, dass ich diese ja berechnen muss um beweisen zu können, dass sie ein Isomorphismus von U auf W ist.

Oder ist diese Aufgabe anders zu lösen?

09.12.2008, 17:17

Reksilat

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RE: Einschränkung/Isomorphismus
Die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf U ist einfach die gleiche Abbildung, nur das man den Definitionsbereich einschränkt.
$\begin{eqnarray*} f_{|U}:U\rightarrow W \end{eqnarray*}$
Du musst nur zeigen, dass f auf U injektiv ist und dass f(U)=W ist.

10.12.2008, 12:00

katatonie

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Ok.

Also, $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, also muss es ja für jedes $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ mind ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ geben.
Besteht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann eigentlich aus allen $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ und allen $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ?

Ich muss beweisen, daß es für jedes $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ höchstens ein $\begin{eqnarray*} v, w \in f \end{eqnarray*}$ gibt. Wäre das so richtig formuliert?

Ich verstehe auch nicht ganz, was ich "Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Komplement von $\begin{eqnarray*} ker(f) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ." entnehmen kann...ich muss $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ schließlich zuerst definieren.

10.12.2008, 12:57

Reksilat

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Zitat:

Besteht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann eigentlich aus allen $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ und allen $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ?

Ich muss beweisen, daß es für jedes $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ höchstens ein $\begin{eqnarray*} v, w \in f \end{eqnarray*}$ gibt. Wäre das so richtig formuliert?

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung und keine Menge! Schau Dir die Definitionen von Injektivität und Surjektivität an. Dann weißt Du was genau zu zeigen ist.

U muss nicht definiert werden, U gibt es quasi frei Haus aus der Aufgabenstellung geliefert. Was Du weißt ist, dass:
$\begin{eqnarray*} U+{\rm Ker}(f)=V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\cap {\rm Ker}(f)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Mehr benötigst Du auch nicht.

10.12.2008, 17:56

katatonie

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Injektiv bedeutet, dass bei der Abbildung $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ jedes y Element Y höchstens einmal abgebildet wird und surjektiv, dass jedes y Element Y mindestens einmal abgebildet wird.

Aber wie beweise ich denn, dass f auf U injektiv ist?

10.12.2008, 18:08

Reksilat

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Beweist Du zum ersten mal die Injektivität einer Funktion? Der allgemeine Ansatz lautet wie immer:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass daraus $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ folgt.

10.12.2008, 18:26

katatonie

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Zitat:

Original von Reksilat
Beweist Du zum ersten mal die Injektivität einer Funktion? Der allgemeine Ansatz lautet wie immer:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass daraus $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ folgt.

Mehr oder weniger ja. Der Ansatz ist mir klar, der geht schließlich aus der Definition hervor.
Ich weiß aber trotzdem nicht, wie ich das genau machen muss. :/

10.12.2008, 18:41

Reksilat

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Wenn Dir der Ansatz klar ist, dann schreibe ihn doch bitte hin. Alles muss man hier selber machen!

Es ist $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ . Was kann man nun über $\begin{eqnarray*} f(a-b) \end{eqnarray*}$ aussagen?
(Und versuche bitte nicht nur einen Schritt zu denken und dann wieder nachzufragen, sondern überlege etwas.)

10.12.2008, 19:09

katatonie

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Dann müsste daraus doch auch $\begin{eqnarray*} f(a)-f(b) \end{eqnarray*}$ folgen bzw. bei $\begin{eqnarray*} f(a-b) \end{eqnarray*}$ müssten sich nach Voraussetzung a und b doch aufheben, 0 ergeben.

10.12.2008, 19:27

Reksilat

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Was meinst Du damit? verwirrt

Ist es so schwer, einen allgemeinverständlichen Satz zu formulieren?

PS: Bin vorerst weg, falls jemand anders weiterhelfen möchte.

10.12.2008, 19:37

katatonie

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Ich meinte nur, dass, wenn nach Voraussetzung (oder wohl eher Behauptung?!) $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} f(a-b) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ wäre.

10.12.2008, 19:44

Reksilat

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Ist es denn so schwer zu lesen? Es steht nirgends, dass a=b ist. Das ist die Behauptung, das ist zu zeigen. Nochmal:

1. $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linear, also $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ für beliebige x,y.

3. Was ist $\begin{eqnarray*} f(a-b)\,? \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 20:00

katatonie

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Das ist $\begin{eqnarray*} f(a)-f(b) \end{eqnarray*}$ .

10.12.2008, 22:32

Reksilat

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Und oben steht $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} f(a-b)=f(a)-f(b)=? \end{eqnarray*}$

Als nächstes: Was bedeutet das dann für das Element $\begin{eqnarray*} a-b ? \end{eqnarray*}$

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