Optimierungsproblem

09.12.2008, 16:56

atm

Optimierungsproblem

Hallo Zusammen!

Ich bin bwl student und stehe vor einen "kleinen" Optimierungsproblem. Leider reichen meine Mathematischen Kenntnisse nicht aus um auf eine korrekte Lösung zu kommen. Vielleicht gibts ein paar game theory oder optimierungsexperten unter euch. Wäre super nett:

Gegeben sind eine endliche Anzahl von Spielen mit zwei Ausgängen:

ja (A) / nein (B)

bei Eintritt von A gewinnen Sie a*x und verlieren b*y
bei Eintritt von B gewinnen Sie b und verlieren a

wobei a=b
und Faktor x=y

Wie Sie sehen ist hier das Resultat in jedem Fall = 0
Die Eintrittswahrscheinlichkeit für A ist p1 und für B 1-p1

Sie erhalten am nach dem letzten spiel Spiel 0,1 * die Summe der Auszahlungen aller Spiele - hier genannt "Nettosumme" (wenn > 0
), wobei Ausgang bei Ausgang A mit "b*y negativ" saldiert, bei Ausgang B "a" positiv saldiert wird".
Wie wäre Ihre Strategie bei einer endlichen Anzahl von Spielen?
Wie könnten Sie die (Nettosumme * 0,1) verwenden um
Faktor x und y bzw. a und b variieren, um eine für Spiele n positive Auszahlung in jedem Fall zu bekommen?

Wäre für Eure Vorschläge sehr dankbar!
lg,
Daniel

11.12.2008, 00:05

Abakus

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RE: Optimierungsproblem
Nimm zB mal 3 Spiele und teste ein paar Runden durch. Wie würdest du spielen?

Dann wäre zu schauen, ob es eine Strategie o.ä. gibt.

Grüße Abakus smile

12.12.2008, 11:04

atm

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danke für die antwort. jo hatte mal so was vor. grundsätzlich gute idee. jedoch sehr heuristisch smile

werd jedoch mal ein paar versuche starten. denke mal werden wohl einige sein müssen, da enitrittswahrscheinlichkeit unterschiedlich...
falls noch jemand ne idee hat - herzlich willkommen smile

12.12.2008, 15:53

Abakus

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Es geht mir darum erstmal zu verstehen, wie das Ganze ablaufen soll und was das für Variablen sind (das ist mir nur anhand deiner Beschreibung gar nicht so klar).

Wenn du also deine Versuche hier darstellst, würde das helfen. Dann ließen sich ggf. auch einzelne Aspekte diskutieren usw.

Grüße Abakus smile

12.12.2008, 23:39

Ben Sisko

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Ja, schreib doch einfach mal ein, zwei Beispiele hin. Ich werd aus deiner obigen Erklärung auch nicht ganz schlau...

13.12.2008, 14:28

atm

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hallo!
danke für Eure antworten.
Anbei hänge ich mal ein excel sheet. das ziel ist in jedem Ausgang einen zusatzgewinn zu erzielen. (restl. beschreibung siehe posting 1)
es illustriert die problematik bei anzahl spiele =1. sehr trivial. wenn die anzahl erhöht wird, ist die problemstellung nicht mehr so trivial. z.b. n=10 spiele.

vielleicht hat jemand ne idee smile

danke
lg
Daniel

14.12.2008, 13:33

Abakus

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RE: Optimierungsproblem
Deine Excel-Datei hilft mir beim Verstehen des Problems nicht. Nötig ist ein vollständig beschriebenen Ablauf, wie das Spiel vonstatten gehen soll.

Zitat:

Original von atm
Gegeben sind eine endliche Anzahl von Spielen mit zwei Ausgängen:

ja (A) / nein (B)

bei Eintritt von A gewinnen Sie a*x und verlieren b*y
bei Eintritt von B gewinnen Sie b und verlieren a

wobei a=b
und Faktor x=y

Wie Sie sehen ist hier das Resultat in jedem Fall = 0
Die Eintrittswahrscheinlichkeit für A ist p1 und für B 1-p1

Angenommen es tritt A ein, dann gewinne ich ax und verliere by, insgesamt passiert also wegen ax - by = 0 gar nichts. Wo steckt da der Sinn?

Zitat:

Sie erhalten am nach dem letzten spiel Spiel 0,1 * die Summe der Auszahlungen aller Spiele - hier genannt "Nettosumme" (wenn > 0
), wobei Ausgang bei Ausgang A mit "b*y negativ" saldiert, bei Ausgang B "a" positiv saldiert wird".

Wenn ich dreimal Null zusammenzähle, ist das wieder Null. Wieso kann da ein Gewinn rauskommen?

Zitat:

Wie wäre Ihre Strategie bei einer endlichen Anzahl von Spielen?
Wie könnten Sie die (Nettosumme * 0,1) verwenden um
Faktor x und y bzw. a und b variieren, um eine für Spiele n positive Auszahlung in jedem Fall zu bekommen?

Welche Faktoren darf ich denn als Spieler wie und wann festlegen?

Grüße Abakus smile

14.12.2008, 15:19

atm

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RE: Optimierungsproblem
danke Abakus:

zu)

Zitat:

Original von Abakus Angenommen es tritt A ein, dann gewinne ich ax und verliere by, insgesamt passiert also wegen ax - by = 0 gar nichts. Wo steckt da der Sinn?

grundsätzlich hast du recht.
-> also der sinn liegt darin, je mehr spiele ich spiele, umso mehr kann ich am ende gewinnen. und ich spiele so, dass ich pro spiel nichts verliere.

Zitat:

Original von Abakus
Wenn ich dreimal Null zusammenzähle, ist das wieder Null. Wieso kann da ein Gewinn rauskommen?

weil: nach jedem spiel wird geschaut ob A oder B eingetreten ist. Wenn A eingetreten ist wird "a" akkumuliert, wenn B dann "b*x" negativ akkumuliert .
(es wird quasi der umsatz und nicht die balance akkumuliert - natürlich wenn wir den eigentlichen spielausgang bewerten kommt 0 raus.)

z.b.
spiel 1: A gewinnt, somit +100
spiel2: B gewinnt, somit -100*2 = -200
spiel3: B gewinnt, somit -100*2 = -200

summe: -300
somit wäre die zusätzliche auszahlung 0, weil -300 kleiner 0.
wenn z.b. +300 rausgekommen wäre, wäre die auszahlung am ende 300*0,1 gewesen.

Zitat:

Original von Abakus Welche Faktoren darf ich denn als Spieler wie und wann festlegen?

-> jetzt kommt der clou:
gehen wir davon aus wir spielen 1 spiel. (siehe excel) wenn ich weiß dass ich am ende z.b. 10 gewinne (durch die beschriebene saldobildung/akkumulation siehe oben), weiß ich dass ich bei b+5 spielen kann (siehe zelle E4 im excel), um somit ein gleichmäßig verteilten gewinn auf beide ausgänge (A und B) zu bekomme.

hoffe habs halbwegs verständich beschrieben. Danke für Deine / Eure geduld smile

14.12.2008, 16:16

atm

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vielleicht noch ne zusätzliche erläuterung zum "clou":

grundsätzlich habe ich pro spiel einen gewinn von 0 und 0, da ich gleich viel gewinne wie ich verliere. dadurch, dass ich saldiert aber am ende der spiele etwas bekommen kann (siehe beschreibung), könnte ich von vorne herein bei Ausgang "B" mehr risikieren, wenn ich wüßte wieviel ich am ende bekommen könnte smile

sodass ich wenn ich den gewinn am ende nicht hätte sonst z.b. bei A 0 und bei B -5 gewinnen könnte...

darum ist es von bedeutung mit wieviel ich am schluß "saldogewinn" rechnen kann um die verteilung der einsätze meiner spielweise von anfang an zu ändern (ursprünlich 1zu1 = bei A 0 und B 0 auf z.b. 1 zu 1,5 = bei A0 und bei B -5 ).

lg

14.12.2008, 17:27

Abakus

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OK, wie ist das mit den Einsätzen, sind die pro Runde variierbar und wenn ja, innerhalb welches Bereiches?

Ich denke mal, wenn $\begin{eqnarray*} p_1 > 0.5 \end{eqnarray*}$ ist, sollte es sich lohnen, in jeder Runde den Maximaleinsatz zu setzen, für den Erwartungswert bei 3 Runden würde sich ergeben:

$\begin{eqnarray*} E(Gewinn) = 0.1 * 3 * (p_1 - (1 - p_1)) * E_{max} > 0 \end{eqnarray*}$

Ggf. möchtest du hier noch irgendwie die Risikopräferenz des Spielers berücksichtigen, etwa durch eine Risiko-Nutzen-Funktion?

Ist $\begin{eqnarray*} p_1 < 0.5 \end{eqnarray*}$ , ist die Lage anders. Hier wird man ggf. weitere Einsätze von den vorherigen Ergebnissen abhängig machen wollen.

Ich könnte mir vorstellen: ist man im Gewinn, wird nur der Minimaleinsatz gesetzt, um den Gewinn möglichst zu retten; ist man im Verlust, wird man den Maximaleinsatz versuchen, um noch in die Gewinnzone zu kommen (bei negativem Saldo verliert man ja nichts, also kein Risiko hier).

Grüße Abakus smile

15.12.2008, 10:57

atm

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Danke für die Antwort Abkakus!

Zitat:

Original von Abakus
OK, wie ist das mit den Einsätzen, sind die pro Runde variierbar und wenn ja, innerhalb welches Bereiches?

die einsätze sind theoretisch "unbegrenzt" variierbar. jedoch macht es keinen sinn "z.b. bei "B 1000" zu setzen und bei "A 10", da du ja am ende nicht eine kompensation des verlustes von B (wenn A eintritt) durch den nettosaldogewinn erzielen kannst, da dieser ja wesentlich geringer wäre.
(siehe XLS "zusatzeinsatz")

p1 ist variabel. Die Risikopräferenz wäre eher gering, bzw. können wir weglassen?!

Zitat:

Original von Abakus
Ich denke mal, wenn $\begin{eqnarray*} p_1 > 0.5 \end{eqnarray*}$ ist, sollte es sich lohnen, in jeder Runde den Maximaleinsatz zu setzen, für den Erwartungswert bei 3 Runden würde sich ergeben:

$\begin{eqnarray*} E(Gewinn) = 0.1 * 3 * (p_1 - (1 - p_1)) * E_{max} > 0 \end{eqnarray*}$

Emax ist maximal einsatz oder? E(Gewinn) der erwartungswert des nettosaldogewinns oder? hätte aber ein resultat von 0?! smile

Zitat:

Original von Abakus
Ich könnte mir vorstellen: ist man im Gewinn, wird nur der Minimaleinsatz gesetzt, um den Gewinn möglichst zu retten; ist man im Verlust, wird man den Maximaleinsatz versuchen, um noch in die Gewinnzone zu kommen (bei negativem Saldo verliert man ja nichts, also kein Risiko hier).

hmm, ok das mit dem einsatz ist eine gut idee. d.h. wenn im plus versuchen gewinnn retten, wenn im minus, aus minus rauszukommen durch höheren einsatz. es ist auch möglich eine runde nicht zu spielen. Bei negativem Saldo verliert man nix, das ist richtig. ok nun aber: ist ja die frage na der variation des einsatzes: "A = einsatz e1" "B = einsatz e1 + z" z errechnet sich ja aus dem Saldo durch 2 (+ wahrscheinlichkeit), da 2 Spielausgänge möglich sind.

vielen dank Augenzwinkern

16.12.2008, 08:56

atm

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so habs mir nochmal durchgedacht.
du hast eigentlich den nagel auf den kopf getroffen Abakus!
vielen dank.

der Erwartungswert des "Saldos" ist eigentlich der springende punkt, wenn ich ihn weiß kann ich die aufteilung - wie sie dann auch immer lautet - vornehmen.

aber ist die formel des erwartungswert so richtig?
weil (p1 - (1-p1) ergibt immer null und somit ist der ganze term 0.

danke

lg Daniel

18.12.2008, 00:25

Ben Sisko

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Hab den Rest nicht mehr so genau gelesen, aber DAS

Zitat:

Original von atm
weil (p1 - (1-p1) ergibt immer null und somit ist der ganze term 0.

stimmt nicht...

$\begin{eqnarray*} p_1-(1-p_1)=2\cdot p_1 - 1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

18.12.2008, 01:40

Abakus

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Zitat:

Original von atm
die einsätze sind theoretisch "unbegrenzt" variierbar.

Wenn du mit unbegrenztem "Kapital" spielst, gelten einige Sätze nicht mehr, ein Beispiel für derartige Phänomene ist das Petersburger Paradoxon.

Zitat:

Die Risikopräferenz wäre eher gering, bzw. können wir weglassen?!

Also strikte Risikoneutralität? Ökonomen nehmen ja oft sogar Risikoscheu an. Je nachdem, was du annimmst, kommst du ggf. zu verschiedenen Ergebnissen.

Zitat:

Emax ist maximal einsatz oder? E(Gewinn) der erwartungswert des nettosaldogewinns oder? hätte aber ein resultat von 0?! smile

Ben sagt es schon richtig, es ist:

$\begin{eqnarray*} (p_1 - (1 - p_1)) = 2p_1 - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p_1 > 0.5 \end{eqnarray*}$

Die Bezeichnungen hast du korrekt erfasst.

Zitat:

Was meinst du hier mit variierbar? (die Höhe des Einsatzes, wobei bei A der Gewinnsaldo erhöht wird und bei B erniedrigt?).

Für größere n (=Anzahl der Spiele) könnte ich mir vorstellen, dass das Problem deutlich komplexer wird und man ggf. Stochastische Prozesse betrachten muss.

Grüße Abakus smile

PS: spezielle Grüße f. Ben Wink

18.12.2008, 03:11

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Abakus
Also strikte Risikoneutralität? Ökonomen nehmen ja oft sogar Risikoscheu an. Je nachdem, was du annimmst, kommst du ggf. zu verschiedenen Ergebnissen.

Was verstehst du unter "risikoscheu"? In der Finanzmathematik ist der Erwartungswert-Varianz-Investor ganz üblich, d.h. bei gleicher Varianz wird der höhere Erwartungswert und bei gleichem Erwartungswert die kleinere Varianz bevorzugt.
Will man wirklich "risikoscheu" modellieren, muss man Präferenzfunktionen zu Rate ziehen, also Risiko und möglichen Gewinn in Beziehung setzen.

Zitat:

Original von Abakus
PS: spezielle Grüße f. Ben Wink

Danke

18.12.2008, 13:48

atm

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danke für Eure antworten ;-)
vorab entschuldigt mein diletantismus Augenzwinkern

ok d.h. Deine Formel gilt für p1 > 0,5. dann stimmts

zu der kapital frage: theoretisch unbegrenzt auf der Seite B, auf A nicht.
z.b. A=100, B=100+z , z könnte z.b. zwischen 0 und 300 liegen.

& ja, risikoneutral

Zitat:

Original von Abakus
Was meinst du hier mit variierbar? (die Höhe des Einsatzes, wobei bei A der Gewinnsaldo erhöht wird und bei B erniedrigt?).

Für größere n (=Anzahl der Spiele) könnte ich mir vorstellen, dass das Problem deutlich komplexer wird und man ggf. Stochastische Prozesse betrachten muss.

variierbar ist "z". Die höhe des Einsatzes bei B, wobei B=einsatzA+z.
anzahl der spiele ca. 5-30.
wie gesagt, ich hab ja einen gewinnsaldo mit dem ich rechnen kann. z.b. +300 oder -200 etc. der ausgang je spiel ist ja zuerst immer =0, da ich auf beiden seiten gleichviel setze. wenn ich jetzt am anfang wüßte, dass ich am ende aller spiele +100 Nettosaldo habe, könnte ich meinen Einsatz auf Seite B um "z" erhöhen, um somit die balance von 0 u. 0 auf z.b. 0 und +5 aufteilen. somit hätte ich auch im falle des augangs B gewinn. am besten illustriert durch die excel datei. summe habe ich eigentlich den endbetrag von A(minus abzüge) so aufgeteilt, dass ich in jedem spiel mit einem fixum rechnen kann, durch das balancing. ich weiß, ein bischen kompliziert und ich tu mir mit erklären ein bischen schwer ;-)

kleiner einschub dazu:
gehen wir mal davon aus wir spielen 1 spiel wie im excel. um du bekommst bei ausgang "A" Einsatz*0,1. d.h. 100*0,1=10 (der Nettosaldo für JETZT nur für 1 spiel halt, weil n=1). bei ausgang B würde ich leer ausgehen, da Einsatz A = Einsatz B. jetzt will ich aber bei ausgang B auch was bekommen. da ich davor weiß dass ich 10 bekomme wenn A gewinnt (Nettosaldo), würde ich bei B "100+5" setzen können, also 5 mehr als bei A. und würde in jedem Fall 5 bekommen:

bei A: Nettosaldo -5 (verlust weil A + 5 = B). und
bei B: der Einsatz B+5 - A = 5

nun aufgeteilt auf "n" spiele ist das ein bischen schwerer, weil der nettosaldo ja durch alle spiele erzeugt wird, und somit vermutlich der zusatzeinsatz bei "B" wesentlich geringer ausfällt, wegen wahrscheinlichkeiten

lg

20.12.2008, 11:41

Abakus

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Was verstehst du unter "risikoscheu"? In der Finanzmathematik ist der Erwartungswert-Varianz-Investor ganz üblich, d.h. bei gleicher Varianz wird der höhere Erwartungswert und bei gleichem Erwartungswert die kleinere Varianz bevorzugt.
Will man wirklich "risikoscheu" modellieren, muss man Präferenzfunktionen zu Rate ziehen, also Risiko und möglichen Gewinn in Beziehung setzen.

Ich dachte an Risiko-Nutzen-Funktionen (RNFen), die solche Präferenzfunktionen sind. Risikoscheu bedeutet, dass die RNF degressiv steigt (bzw. konkav) ist.

Beim $\begin{eqnarray*} (\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ -Prinzip ist die Frage, wie du Situationen mit verschiedenem Erwartungswert und verschiedener Varianz miteinander vergleichst (zB Erwartungswert und Varianz höher bei einer Alternative bei Risikoscheu: was ist nun besser?)

Jedenfalls ergibt sich beim $\begin{eqnarray*} (\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ -Prinzip das Problem, dass Entscheidungen danach nicht immer mit den Axiomen des Bernoulli-Prinzips vereinbar sind und damit allgemeiner Rationalität widersprechen.

Zitat:

Original von atm
zu der kapital frage: theoretisch unbegrenzt auf der Seite B, auf A nicht.
z.b. A=100, B=100+z , z könnte z.b. zwischen 0 und 300 liegen.

& ja, risikoneutral

Zitat:

Um mal ein Beispiel anzugehen:

$\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ (Zahl der Spiele), $\begin{eqnarray*} p_1 = p_2 = 0.5 \end{eqnarray*}$ , Einsatz = 100, z fest bei beiden Spielen

Dann ergeben sich die 4 Spielergebnisse AA, AB, BA, und BB mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0.25, ferner folgende Gewinne:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Ausgang / z & 0 & 5 & 10 & 20 \\ AA & 20 & 10 & 0 & -20 \\ AB & 0 & 5 & 10 & 20 \\ BA & 0 & 5 & 10 & 20 \\ BB & 0 & 10 & 20 & 40 \\ E(z) & 5 & 7.5 & 10 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch höheres z lässt sich also der Erwartungswert steigern, es ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} E(z) = \frac 1 4 (20 - 2z) + \frac 1 4 z + \frac 1 4 z + \frac 1 4 \cdot 2z = 5 + \frac z 2 \end{eqnarray*}$

Für höhere z's als 10 besteht jedoch auch ein Verlustrisiko (hier von 20 mit 25% bei z=20). Ein risikoneutraler Spieler richtet sich hier nur nach dem Erwartungswert und würde das Verlustrisiko ignorieren.

Die Frage ist, ob ein vernünftiger Mensch beliebig viel für z einsetzen würde oder doch eher risikoscheu agiert: an dieser Stelle käme jetzt die RNF ins Spiel.

Du möchtest jetzt jedenfalls dein z während des Spiels abhängig von dem erzielten Ergebnis variieren?

Nehmen wir an, es wurde in der ersten Runde $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ zusätzlich gesetzt und der mögliche zusätzliche Setzbetrag in der zweiten Runde ist $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ , dann hätten wir:

Möglichkeit 1: in der ersten Runde $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ gewann A:

$\begin{eqnarray*} E(e_1=A, z_1, z_2) = \frac 1 2 \cdot (20 - z_1 - z_2) + \frac 1 2 \cdot z_2 = 10 - \frac{z_1}{2} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall hängt der Erwartungswert nicht von $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ab.

Möglichkeit 2: in der ersten Runde gewann B:

$\begin{eqnarray*} E(e_1=B, z_1, z_2) = z_1 + \frac 1 2 \cdot (100 + z_2 -100 - z_1) + \frac 1 2 \cdot z_2 = \frac{z_1}{2} + z_2 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall lohnt es sich als risikoneutraler Spieler den Einsatz $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ möglichst hoch zu machen.

Grüße Abakus smile

Edit: Latex, Text

23.12.2008, 10:18

atm

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danke, Abakus.

eines ist mir jedoch nicht ganz klar. wie kommst du bei deiner matrix auf die zahlen horiztonal neben den Ausgang AA bis BB. Der erwartungswert (letzte zeile) und z (erste zeile) ist klar, abr die restlichen zahlen sind mir nicht ganz klar smile

sorry & vielen dank

lg

23.12.2008, 23:03

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
Dann ergeben sich die 4 Spielergebnisse AA, AB, BA, und BB mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0.25, ferner folgende Gewinne:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Ausgang / z & 0 & 5 & 10 & 20 \\ AA & 20 & 10 & 0 & -20 \\ AB & 0 & 5 & 10 & 20 \\ BA & 0 & 5 & 10 & 20 \\ BB & 0 & 10 & 20 & 40 \\ E(z) & 5 & 7.5 & 10 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zahlen kommen so zustande (ich hoffe, ich habe das Spiel richtig verstanden):

AA, z=0, Saldo ist 100+100=200, Gewinn also: 0.1*200=20;
AA, z=5, Saldo ist 100+100=200, aber Verlust pro Runde=5, also 0.1*200-2*5=10;
....
AB, z=10, Saldo ist 100-110<0, aber Gewinn in letzter Runde ist 10, macht gesamt 10;
....
BB, z=20, Saldo ist -120-120<0, Gewinn in 2 Runden ist jeweils 20, gesamt also 40.

Die Lücken solltest du erschließen können.

Grüße Abakus smile

24.12.2008, 17:44

atm

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

fast richtig smile

das problem ist, der nettosaldo kommt erst am ende der ganzen spiele, d.h. bei deiner Beschreibung "AB, z=10, Saldo ist 100-110<0, aber Gewinn in letzter Runde ist 10, macht gesamt 10;" hättest du in der letzten Runde zwar den gewinn von 10, jedoch da du in der aktuellen runde den Spielausgang B hast verminderst du die gewinnsumme vom vorherigen spiel (10), hier würde sich der nettosaldo total nahezu bei 0 bewegen, somit hättest du bei Spiel1 nur 10 gewinn gemacht wenn du die 2. run de nicht mehr gespielt hättest ;-)

hier nochmal als illustration.

Einsatz = 100, n=2

theoritsch mögliche Nettosaldi (nach Ausgang, 4 möglichkeiten, bei n=2)

AA u. BA: 0,1*100 + 0,1*100 = 20
AA u. BB: 0,1*100 - 0,1*100 = 0
AB u. BA: 0,1*100 - 0,1*100 = 0
AB u. BB: -0,1*100 - 0,1*100 = -20

1 Beispiel Ausgänge beide Spiele gewinnt Seite "A")

Tabelle totale Spieleträge AA u. BA (linke Seite "A" - rechte Seite "B")
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Ausgang/z & 0 & 5 & 10 &20 \\ AA & 10 &5 &0 &-10 \\ A & 20 & 15 & 10 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

AA
--
z=0
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+10 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=5
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+10 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=10
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+10 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=20
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+10 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
--

BA (mitberücksichtigung von AA)
--
z=0
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+20 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=5
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+20 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=10
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+20 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

z=20
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & B \\ 0+20 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich denke ich habs nun halbwegs geschnallt Augenzwinkern

möchte deine zeit und nerven nicht noch länger strapazieren smile

hast mir eh schon so viel geholfen
interessantes spiel oder *g*
vielen dank

lg

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