Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit am Beispiel 1/x

09.12.2008, 19:16	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit am Beispiel 1/x Hallo! Habe derzeit ein paar Probleme mit der erwähnten Methode und bin mir daher nicht sicher, ob ich richtig argumentiert habe: Ist $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ stetig? Begründen Sie mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums. Ich habe erstmal Delta festgelegt: $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ Daraus folgt außerdem: $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|>\|x\|-\|x_0\| ~~\Rightarrow \|x\|<\|x_0\|+\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\| = \|\frac{x-x_0}{xx_0}\|<\|\frac{\delta}{xx_0}\|<\|\frac{\delta}{x_0(x_0+\delta)}\| := \varepsilon \end{eqnarray}$ . Funktioniert das so?
09.12.2008, 21:19	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit am Beispiel 1/x Nein. Das Epsilon wird vorgegeben und du musst Delta entsprechend wählen, nicht anders rum.
09.12.2008, 21:28	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt mir dann leider völlig der Ansatz. Hast du einen Vorschlag?
10.12.2008, 07:46	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Also pass auf. Zuerstmal waren deine Vorbetrachtungen hilfreich. Wir betrachten im folgenden die x aus der Delta-Kugel mit Zentrum x_0, also alle diejenigen, die die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ erfüllen. Dieses Delta müssen wir aber in Abhängigkeit von Epsilon und x_0 angeben können. OK? Los geht's: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right\|=\left\|\frac{x-x_0}{xx_0}\right\|<\varepsilon \Leftrightarrow \|x-x_0\|<\varepsilon\|xx_0\|<\varepsilon\|x_0\|(\|x_0\|+\delta)=:\delta \end{eqnarray}$ Nun noch Delta ausrechnen, d.h. folgende Gleichung nach Delta auflösen $\begin{eqnarray} \varepsilon\|x_0\|(\|x_0\|+\delta)=\delta \end{eqnarray}$ und du bist am Ziel.
10.12.2008, 11:19	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Wie kommst du auf diese Abschätzung? $\begin{eqnarray} (\|x_0\|+\delta)>x \end{eqnarray}$ mfg
10.12.2008, 13:27	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \leq \|x\| = \|x-x_0+x_0\| \leq \|x-x_0\|+\|x_0\| \end{eqnarray}$
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10.12.2008, 15:23	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch dreien! Hatte das Beweisprinzip dahinter wohl noch nicht ganz verstanden.
24.11.2022, 10:45	Hiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kann man sagen:= delta? Der Rest ist total nachvollziehbar
24.11.2022, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann nicht sagen $\begin{eqnarray} :=\delta \end{eqnarray}$ . Man kann sagen $\begin{eqnarray} =:\delta \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ durch die linke Seite definiert wird.

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