Grenzwertbestimmung

09.12.2008, 19:19

prinzschleifer

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Grenzwertbestimmung

Guten Abend Community,

hab hier eine Funktion gegeben und muss deren Grenzwert ermitteln:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)^{3/2} - x^{3/2}}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Das ganze habe ich bisher so weit vereinfacht, aber komme nicht auf ein richtiges Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}} - x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich weiter gemacht und bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}} - x \end{eqnarray*}$

So und jetzt kann man auch nicht mehr von einer Vereinfachung sprechen :P

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Danke!

09.12.2008, 19:24

Sonjaa20

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RE: Grenzwertbestimmung
Wie wäre es wenn du am Anfang den Nenner mit der dritten binomischen Formel erweiterst?
Somit hättest du im Zähler schonmal keine Wurzel mehr stehen.

09.12.2008, 19:37

prinzschleifer

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Dann wird das Ding aber noch komplizierter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)^{3/2} - x^{3/2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{ (x+1)^{3/2} + x^{3/2} } { (x+1)^{3/2} + x^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Sehhhhr kompliziert, wenn du mich frägst. geschockt

geschockt

09.12.2008, 19:39

AD

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Der Tipp von Sonja ist goldrichtig. Natürlich darf man nicht nach dem ersten Meter stehenbleiben, sondern muss schon noch zwei, drei Schritte gehen!

10.12.2008, 00:18

prinzschleifer

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Vielleicht war ich ja wirklich zu voreilig smile

smile

So, bin hier angelangt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^2+3x+1}{\sqrt{x}(x+1)^{3/2}+x^2} \end{eqnarray*}$

habe schon probiert im Zähler wieder eine binomische Formel zu finden, aber keine gefunden. Wie kann ich weiter kürzen?

10.12.2008, 08:56

klarsoweit

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Kürze durch x² und beachte dabei $\begin{eqnarray*} x^2 = \sqrt x \cdot x^{3/2} \end{eqnarray*}$ .

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10.12.2008, 16:13

prinzschleifer

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Mhh, okay, vielen dank, aber wie kann ich denn dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^2+3x+1}{\sqrt{x}(x+1)^{3/2}+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}(x+1)^{3/2} \end{eqnarray*}$ in ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ Derivat umwandeln?

Das folgende Beziehung gilt ist klar: $\begin{eqnarray*} x^2 = \sqrt x \cdot x^{3/2} \end{eqnarray*}$ . Einfach die Exponenten addieren.
Ich glaub ich mach mir mal wieder die Aufgabe schwerer als sie eigentlich ist.

10.12.2008, 16:20

AD

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Es ist vielfach eine gewisse Schwäche beim Umgang mit den Potenzgesetzen zu verzeichnen. klarsoweits Tipp zielte natürlich klar auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}(x+1)^{3/2}}{\sqrt{x} \cdot x^{3/2}} = \frac{(x+1)^{3/2}}{x^{3/2}} = \left( \frac{x+1}{x} \right)^{3/2} = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3/2} \end{eqnarray*}$

im Nenner deines Terms.

10.12.2008, 17:18

prinzschleifer

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Vielen, vielen Dank für den Tipp!

Bin nun drauf gekommen! Gott

Gott

Gott

Nun, die nächste Aufgabe, ich muss schon sagen, diesesmal hat sich der Übungsleiter wirklich fiese Aufgaben überlegt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2007} ((1+\frac{2007}{x})^{2008}-1) \end{eqnarray*}$
Also wenn ich mir den Term anschaue und sage:

Dieser Teil der Klammer konvergiert gegen 1 für x -> unendlich: $\begin{eqnarray*} 1+\frac{2007}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 - 1 = 0. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1^{2008} \end{eqnarray*}$ ist demnach 1.
und dadurch wird schließlich der komplette Term null

Ich weiß es hört sich sehr unmathematisch an, aber ich bin mir zum jetztigen Zeitpunkt noch keiner Regeln bewusst, die mir bei der Grenzwertfindung helfen könnten.

Wie kann ich hier vorgehen?

Vielen, vielen Dank!

prinzschleifer

10.12.2008, 17:25

AD

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Alles richtig, bis auf den Schluß:

Zitat:

Original von prinzschleifer
und dadurch wird schließlich der komplette Term null

Du hast vollkommen richtig begründet, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{2007}{x} \right)^{2008} = 0 \end{eqnarray*}$

ist. Allerdings folgt aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

i.a. NICHT

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)\cdot g(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch ein blutiger Anfängerfehler! unglücklich

unglücklich

Nein, geh mit dem binomischen Satz an die Potenz ran.

11.12.2008, 15:49

prinzschleifer

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Dieser Anfängerfehler ist mir bewusst, da ich schon ein paar mal auf solche Probleme gestoßen bin.

Ich muss leider mit bedauern festellen, dass ich noch nie einen Beweis mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes gemacht habe.

Ihr müsst mir also auch hier mal wieder helfen, leider.

Das ist das Grundkonstrukt:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} \quad \end{eqnarray*}$

Und nun soll ich das hier:
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{2007}{x} \right)^{2008} \end{eqnarray*}$

In eine solche Form bringen?

Okay,
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{2007}{x})^{2008} = \sum_{k=0}^{2008}{2008 \choose k} 1^{2008-k}(\frac{2007}{x})^{k} \quad \end{eqnarray*}$

Soetwa?

Wie mach ich jetzt weiter?

12.12.2008, 17:17

prinzschleifer

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Kann mir jemand wenigstens eine Richtung sagen, wie ich diese Aufgabe zu lösen habe.

Vielleicht könnte mir jemand eine einfacherer Aufgabe geben, an der ich ein bisschen Knobeln könnte. Ich hab nämlich wirklich keinen Schimmer wie ich an eine solche Entwicklung dran gehen soll.

12.12.2008, 17:21

AD

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Die 1-Potenz kannst du noch vereinfachen, klar.

Schreib dir doch mal die ersten paar Glieder der Summe auf, also für k=0,1,2 , dann kommst du hoffentlich selbst drauf, wie es weitergeht.

14.12.2008, 16:10

prinzschleifer

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Also, ich hab mich mal wieder an die Aufgabe rangewagt und habe erstmal folgendes feststellen können:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2007} ((1+\frac{2007}{x})^{2008}-1) \end{eqnarray*}$

Den inneren Teil:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{2007}{x})^{2008} = \sum_{k=0}^{2008}{2008 \choose k} 1^{2008-k}(\frac{2007}{x})^{k} \quad \end{eqnarray*}$

Den kann man einfach umschreiben, da
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2008}{2008 \choose k} 1^{2008-k}(\frac{2007}{x})^{k} \quad \end{eqnarray*}$

wenn man k = 1 ausrechnet:
$\begin{eqnarray*} {2008 \choose 1} \cdot 1^{2008} \cdot (\frac{2008}{x})^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Das heißt man kann den Index verschieben und dafür die -1 im Term streichen.

Die Aufgabe sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2007} (\sum_{k=1}^{2008}{2008 \choose k} 1^{2008-k}(\frac{2007}{x})^{k} \quad) \end{eqnarray*}$

So, ich hab mir jetzt ein paar Summenglieder rausgeschrieben, bin aber wirklich nicht schlauer geworden:

1) k=2 => $\begin{eqnarray*} 2008 \cdot (\frac{2007}{x}) \end{eqnarray*}$
2) k=3 => $\begin{eqnarray*} 2015028 \cdot (\frac{2007}{x})^2 \end{eqnarray*}$
3) k=4 => $\begin{eqnarray*} 1347382056 \cdot (\frac{2007}{x})^3 \end{eqnarray*}$

Ich hab mir den Binomialkoeffizient ausschreiben müssen, weil ich mir da jetzt noch nicht so viel drunter vorstellen kann.

Ich weiß jetzt nicht was ich da jetzt abschätzen kann. Ich bitte um Hilfe!

16.12.2008, 09:48

Captain Trips

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Also besonders fies ist die Aufgabe nun wirklich nicht. Du solltest einfach mal darauf verzichten explizite Werte auszurechnen. Vielleicht wirds einfacher wenn Du folgendes betrachtest:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{n}((1+\frac{n}{x})^{n+1}-1) \end{eqnarray*}$

Du hast ja schon gesehen, dass sich dieser Ausdruck sich nach der binomischen Formel wie folgt umschreiben lässt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}{n+1 \choose k}\left(\frac{n}{x}\right)^{k-1}={n+1\choose 1}+{n+1\choose 2}\frac{n}{x}+{n+1\choose 3}\left(\frac{n}{x}\right)^2+\cdots+\left(\frac{n}{x}\right)^n \end{eqnarray*}$

Und dann kannst Du Deinen Grenzwert doch schon ablesen.

16.12.2008, 17:27

prinzschleifer

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Vielen vielen Dank, komisch das ich nicht drauf gekommen bin, war doch recht simple.

So, nun bin ich wieder auf ein Problemchen gestoßen.

Folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \end{eqnarray*}$

Nun steh ich wieder vor dem gleichen Rästel. Irgendwie seh ich nicht wie ich den Term vereinfachen kann. Habe ihn bereits in Brüche zerlegt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}}{x} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

und in dieser Form hingeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{1/2}}{x} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Aber all diese Umformungen helfen mir nicht weiter!

Hat jemand einen Vorschlag?

16.12.2008, 18:15

klarsoweit

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Erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} {\sqrt{x+1}+1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2008, 18:51

prinzschleifer

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Ich glaub dieser Binomitrick wird mich noch lange begleiten smile

smile

So, irgendwie komm ich mit dem Grenzwert von Funktionen noch nicht so ganz klar.

Nunja,

die nächste Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^3+27}{x^4-81} \end{eqnarray*}$

Also der Zähler hat eine Nullstelle bei -3 der Nenner bei 3, was mir bei der Grenzwertbetrachtung absolut nix hilft, nur das ich ihn nicht direkt angeben kann.

Also muss ich irgendwie kürzen, ich habe versucht das in Nullstellen schreibweise aufzufassen, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen. Wieder ein kleiner Tipp, vielleicht?

Ahh x^4 muss natürlich mehrer Nullstellen haben. Mal gucken.

Edit:

Gut, also ich konnte es auf folgenden Term kürzen, dieser lässt aber den Nenner auch bei der Stelle -3 den Nuller zu Null werden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2-3x-9}{x^3-3x^2-3x+9} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2-3x-9}{(x^2-3)(x-3)} \end{eqnarray*}$

So, jetzt benötige ich eure Hilfe smile

smile

17.12.2008, 12:45

Captain Trips

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Beim Zähler machst Du am besten eine Polynomdivision. Die Nullstelle -3 ist Dir ja bereits aufgefallen. Also $\begin{eqnarray*} (x^3+27)<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> x+3)=\ldots \end{eqnarray*}$

Beim Nenner kannst Du noch einfacher faktorisieren, falls Du Dich an die 3. binomische Formel erinnerst und diese 2 Mal anwendest: $\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$

Im Hochschulforum sind derlei Fragen allerdings deplaziert, da binomische Formeln, Polynomdivision und elementare Termumformungen spätestens bis Klasse 10 erledigt werden

17.12.2008, 12:48

Captain Trips

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Zu früh abgefeuert daher nochmal:

Zitat:

Original von Captain Trips
Beim Zähler machst Du am besten eine Polynomdivision. Die Nullstelle -3 ist Dir ja bereits aufgefallen. Also:
$\begin{eqnarray*} (x^3+27) \div (x+3)=\ldots \end{eqnarray*}$

Beim Nenner kannst Du noch einfacher faktorisieren, falls Du Dich an die 3. binomische Formel erinnerst und diese 2 Mal anwendest: $\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$

Im Hochschulforum sind derlei Fragen allerdings deplaziert, da binomische Formeln, Polynomdivision und elementare Termumformungen spätestens bis Klasse 10 erledigt werden

17.12.2008, 20:55

prinzschleifer

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Vielen, vielen Dank, bin dann am Schluss doch selbst drauf gekommen.

Du hast recht, das solche elementar Operation nicht viel mit der Hochschule zu tun haben, aber dann extra einen neuen Thread im Schulforum aufzumachen trägt auch grade nicht der Übersichtlichkeit bei, sie mal anzumelden, damit man seine Beiträge editieren kann, wäre aber ein enormer Fortschritt. unglücklich

unglücklich

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