A,B kommutieren |
09.12.2008, 19:43 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A,B kommutieren K ist ein Körper und . es heisst wenn zwei nxn-Matrizen A,B miteinander kommutieren, dann gilt AB=BA. ich soll jetzt 1) 2x2 Matrizen A,B angeben, die miteinander kommutieren und 2) die nicht miteinander kommutieren kann ich dass dann so machen: 2) für n=2 A= , B= AB ist dann: und BA ist dann: d.h. dann oder macht man das anders, bei der 1 habe ich noch keine überlegungen |
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10.12.2008, 09:51 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: A,B kommutieren 2) ist okay, bei 1) kann man an alle Matrizen denken, die nur auf der Hauptdiagonale irgendwelche Elemente haben. Dann kommutiert das Produkt zweier solcher Matrizen, insofern K kommutativ ist. Wenn K ein Schiefkörper ist, dann muss man für die beiden Diagonalen Elements aussuchen, die in K bzgl. der Multiplikation kommutieren (simpel: die Vielfachen der Einheitsmatrizen, simpler: die Einheitsmatrix und die Nullmatrix). |
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10.12.2008, 15:50 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich habe jetzt ein bespiel dafür gefunden: A= und B= und AB= und BA= also gilt AB=BA. nun habe ich die 2x2 Matrizen angeben für die das erfüllt wird habe noch eine frage: sei nun . Beweisen sie, das mit allen Matrizen kommutiert genau dann wenn für ein skalar wie kann ich das hier lösen?? |
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10.12.2008, 16:13 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht die 2x2 Matrizen hast Du angegeben, sondern kein Beispiel kommutierender Matrizen A, B: und |
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10.12.2008, 16:40 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh stimmt, habe ich erst jetzt bemerkt, wir können B= hier klappt es nach meiner rechnung wie soll ich denn die 2x2 matrizen angeben, das habe ich jetzt nicht verstanden |
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10.12.2008, 16:44 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachte unter den Matrizen B alle diejenigen, die nur an genau einer Position eine 1 haben und sonst überall eine Null. Daraus folgen Bedingungen an A, mit so einem B zu kommutieren. Die Gesamtheit der Bedingungen ergibt die Aussage, zusammen mit dem Fakt, dass alle Matrizen aus Mat(n, K) von den obengenannten Matrizen linear abhängig sind. |
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10.12.2008, 16:59 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sind die anderen aufgabenteile jetzt gelöst?? das verstehe ich jetzt nicht,wie meinst du das. was ist denn mit das soll ja A sein. ist E nicht : |
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11.12.2008, 10:16 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du willst ja erst beweisen, dass sein muss. Betrachte alle Matrizen , die nur an der Stelle (i,j) eine 1 haben und sonst Nullen, z.B. (n = 4) und sieh' nach, welche Bedingung an die Elemente von A aus der Gleichung folgt. |
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11.12.2008, 22:21 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wenn ich und mein E ist: dann ist : stimmt das?? |
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12.12.2008, 00:04 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt. Und schau dir nochmal den letzten Post von Raumpfleger an, er gibt dir ja klare Anweisungen Das hier
machst du am besten, indem du die betreffende Matrizenmultiplikation mal formelmäßig hinschreibst (Definition der Matrizenmultiplikation). |
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12.12.2008, 16:06 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also für n=4 ist dann mein A: A= wenn ich das mit B= multipliziere kommt für AB= und BA = also das selbe?? habe ich da was falsch gemacht, oder falsch verstanden |
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13.12.2008, 00:17 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das musst du ein bisschen allgemeiner machen. Damit
meinte ich die folgende Definition: Was weißt du jetzt über die (siehe Definition von Raumpfleger)? Damit sollst du jetzt zeigen, dass für und für , wenn die Multiplikation kommutativ ist (und umgekehrt). |
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13.12.2008, 13:08 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss an der stelle i,j eine 1 haben sonst nur nullen ich verstehe das nicht |
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13.12.2008, 13:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lass dir doch nicht immer alles aus der Nase ziehen. Wenn du weißt dass es fast immer 0 gibt dann kannst du doch die Summe beim c_ij erheblich vereinfachen. Dies liefert dir eine Bedingung... |
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13.12.2008, 13:32 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok über kennen wir die definition aber das mit ist mir noch nicht so klar |
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13.12.2008, 14:20 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@energyfull Du bist anscheinend völlig neben der Spur (bitte um Entschuldigung, falls ich das falsch sehe): Du sollst beweisen, dass eine Matrix A mit allen Matrizen B aus Mat(n, K) genau dann kommutiert, wenn . Dieser Beweis besteht aus 2 Teilen: (1) Wenn , dann kommutiert A mit allen B aus Mat(n, K). Das ist trivial und kann schnell nachgerechnet werden. (2) Wenn A mit allen B aus Mat(n, K) kommutiert, dann muss A ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein. Dazu muss man von einem allgemeinen A ausgehen und Bedingungen an dieses A finden, so dass A mit allen B kommutieren kann. Dazu muss man wiederum die Menge aller B aus Mat(n, K) in den Griff kriegen und an der Stelle kommen die ins Spiel. Jedes beliebige B aus Mat(n, K) ist eine Linearkombination der . Nun muss man - wie bereits viele hier gesagt haben - schauen, welche Bedingungen sich an A ergeben, damit es mit den kommutieren kann und dann ist man mit Schritt (2) fertig. |
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13.12.2008, 14:49 | energyfull | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja bin durcheinander zu 1) hatte ich ja angegeben was A ist, ich weiss nicht wie ich vorgehen soll |
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