Konvergenz

09.12.2008, 19:59

Tarsuinn

Konvergenz

Hi,

ich habe folgendes Problem, und zwar habe ich eine Folge

$\begin{eqnarray*} (a_{n})^\infty n = 1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{n} -> a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n -> \infty \end{eqnarray*}$

Ich soll mit einen Gegenbeispiel beweisen oder widerlegen das

a.) $\begin{eqnarray*} (\mid a_{n} \mid)^\infty n=1 \end{eqnarray*}$ ist konverget

b.) $\begin{eqnarray*} ((-1)^n*[a]_{n})^ \infty n=1 \end{eqnarray*}$ ist konverget

wie sollte man am besten an die Aufgabe gehen, was Konvergez ist weiß ich.

MfG

10.12.2008, 08:38

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Tarsuinn
$\begin{eqnarray*} (a_{n})^\infty n = 1 \end{eqnarray*}$

Was soll das bitte schön sein? verwirrt

10.12.2008, 17:08

Tarsuinn

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tarsuinn
$\begin{eqnarray*} (a_{n})^\infty n = 1 \end{eqnarray*}$

Was soll das bitte schön sein? verwirrt

$\begin{eqnarray*} (a_{n})^\infty \end{eqnarray*}$

Ist eine Folge mit dem Wert n=1

10.12.2008, 18:28

klarsoweit

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RE: Konvergenz
Dann schreib doch bitte $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ für alle n, aber nicht sowas. Das habe ich bislang noch nicht gesehen und ich kann mir nicht vorstellen, daß das jetzt der neueste Schrei in der Mathematik ist.

Was hast du dir denn jetzt zur Aufgabe überlegt?

EDIT: Was die Schreibweise angeht, hat man sich in der Tat was neues einfallen lassen. Siehe das gescannte Aufgabenblatt weiter unten.

10.12.2008, 18:41

Tarsuinn

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Ok sorry

Naja also als grundgedanken geh ich davon aus wenn eine Folge konverget ist dann hat diese eine Monotonie und eine dazu passende Beschränktheit und damit auch einen Grenzwert, also als Bsp. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend und beschränkt auf >= 0 da Zähler und Nenner positiv sind. $\begin{eqnarray*} \frac{n}{1} \end{eqnarray*}$ hätte dann auch eine Monotonie aber keine Beschränktheit für n -> oo.

Deswegen würde ich sagen das die erste Aussage also a.) nicht konverget ist da die Folge unendlich groß wird. Nur ein passendes Gegenbsp fällt mir da nicht ein.

Bei b.) würde ich auch sagen das diese folge keine Konvergenz aufweist da zwar

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ nur werte von -1 und 1 animmt aber multipliziert mit $\begin{eqnarray*} [a]_{n} \end{eqnarray*}$ gegen -unendlich bzw. unendlich geht.

Sind meine Überlegungen soweit ok?

MfG

10.12.2008, 18:54

Jacques

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Hallo,

Also zumindest mir sind die Schreibweisen immer noch nicht ganz klar. Und Dir auch nicht, habe ich den Verdacht. ;-)

Ich ahne mittlerweile, dass Du Folgendes meinen könntest:

$\begin{eqnarray*} (a_{n})^\infty n = 1 \end{eqnarray*}$

bedeutet

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Also Du meinst nicht die konstante Folge mit an = 1 für alle n. Sondern nur die Indizes beginnen bei n. Richtig?

Dann schreibe es auch so auf:

code:
1:	[latex](a_n)_{n = 1}^{\infty}[/latex]

Bei a) geht es jetzt um die Konvergenz der zugehörigen Betragsfolge:

$\begin{eqnarray*} (|a_n|)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Oder?

Und bei b)? Was bedeutet die eckige Klammer? Mich irritiert dabei auch -- falls sie die Abrundungsklammer sein sollte --, dass sie nur um das a gesetzt wird, nicht um das ganze Glied an. Das ergibt keinen Sinn.

10.12.2008, 19:09

Tarsuinn

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Ja da hast du recht, hab das im Editor nicht gefunden, sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Die bei a.)

$\begin{eqnarray*} (\mid a_n \mid)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

b.)

$\begin{eqnarray*} ((-1)^n a_n)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 03:32

Jacques

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OK, dann wäre das schonmal geklärt.

Bei den obigen Überlegungen sind noch einige Denkfehler:

a)

Zwar ist eine Folge schon dann konvergent, wenn monoton steigt (bzw. fällt) und nach oben (bzw. unten) beschränkt ist. Aber die Umkehrung gilt nicht! Auch nicht-monotone Folgen können konvergieren.

Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \left( (-1)^n \cdot \tfrac{1}{n} \right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Die ersten Glieder der alternierenden Folge lauten

-1, +1/2, -1/3, +1/4

Es liegt keine Monotonie vor, und trotzdem konvergiert die Folge.

Beschränktheit dagegen gilt bei konvergenten Folgen notwendigerweise.

Dass die Folge der Beträge „unendlich groß wird“, verstehe ich nicht. Die Ausgangsfunktion ist in jedem Fall beschränkt. Also doch auch die Betragsfolge, oder?

b)

Auch hier wieder: Es geht ganz sicher nichts gegen +- unendlich! Die Ausgangsfolge ist doch konvergent, also beschränkt. Das (-1)^n bedeutet nur, dass jedes zweite Folgenglied an der 0 „gespiegelt“ wird. Dabei geht doch mit Sicherheit nicht die Beschränktheit verloren!

----------------------

Ich würde nochmal von vorne anfangen, und zwar bei b):

Stelle Dir den Graphen der Folge im kartesischen Koordinatensystem vor. Die Veränderung mit dem (-1)^n bewirkt, wie gesagt, dass jedes zweite Glied an der x-Achse gespielt wird. Es wird also eine ganze Teilfolge „verschoben“. Wenn jetzt der Grenzwert der Ausgangsfunktion nicht gerade 0 ist, dann geht die Konvergenz ganz sicher verloren!

Ein Gegenbeispie solltest Du jetzt leicht finden.

Um es nochmal zu sagen: Die Veränderungen bei a) und b) sorgen auf keinen Fall dafür, dass die Folge plötzlich unbeschränkt wird! Hier liegt also nicht der mögliche Widerspruch zur Konvergenz. Sondern es geht darum, ob eventuell mehrere Häufungswerte entstehen, die ja ebenfalls eine Konvergenz verhindern.

11.12.2008, 09:00

Tarsuinn

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Hmm hab da wohl was falsch verstanden, dachte das bei a.) die Folge folgende Form hat:

1, 2, 3, 4, 5, 6... also alle natürlichen Zahlen durchläuft, wo ist denn da mein Fehler?

11.12.2008, 09:17

klarsoweit

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Obwohl ich es nicht gerne sehe, wenn Aufgaben gescannt werden, scheint es mir hier ausnahmsweise angebracht zu sein. Also kannst du das bitte mal machen?

11.12.2008, 11:26

Tarsuinn

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Aufgabe

11.12.2008, 11:44

klarsoweit

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OK. Also die Schreibeweise mit dem unendlich an der Folge geht mir immer noch quer runter, scheint aber neue Mode zu sein. Aus welchem Schulbuch stammt das?

Wie haben jetzt also eine Folge (a_n), die gegen den Grenzwert a konvergiert. Bei Aufgabe a sollst du zeigen oder widerlegen, daß auch die Folge (|a_n|) konvergiert. Das läßt sich relativ leicht mit der Definition des Grenzwertes beweisen.

Bei den anderen Aufgaben solltest du dir überlegen, ob die da gemachten Behauptungen wahr sein können.

11.12.2008, 12:54

Tarsuinn

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Ok hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen,

also die Aussage a.) ist korrekt denn die Betragsfunktion ändert nix an der Konvergenz, allerding überlege ich wie ich dazu ein Gegenbeispiel basteln soll.

Bei b.) ist das auch soweit klar, die Folge ist zwar beschränkt aber nicht konvergent also ist die Aussage falsch, kann man wenn man -1 durch 1 ersetzen würde da dann die Konvergenz erhalten bleibt als gegen Beispiel anbringen?

c.) Das würde ich auf 1/n zurückführen da diese Folge ja als "Nullfolge" bekannt ist und somit auf jedenfall konverget ist.

d.) Diese Aussage würde ich verneinen da eine positive Folge nicht automatisch einen GW > 0 hat, denn z.b. 1/n ist auch positiv für n>=0 aber der GW ist gleich 0.

Wirds besser?

MfG

11.12.2008, 13:10

klarsoweit

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Etwas. Mit ein paar Anmerkungen:

Zitat:

Original von Tarsuinn
also die Aussage a.) ist korrekt denn die Betragsfunktion ändert nix an der Konvergenz, allerding überlege ich wie ich dazu ein Gegenbeispiel basteln soll.

Wenn die Aussage wahr ist, dann kannst du ein Gegenbeispiel suchen, bis du schwarz wirst. smile

Daß die Betragsfunktion nichts an der Konvergenz ändert, stimmt zwar, sollte aber dennoch bewiesen werden.

Zitat:

Original von Tarsuinn
kann man wenn man -1 durch 1 ersetzen würde da dann die Konvergenz erhalten bleibt als gegen Beispiel anbringen?

Was meinst du damit?

Zitat:

Original von Tarsuinn
c.) Das würde ich auf 1/n zurückführen da diese Folge ja als "Nullfolge" bekannt ist und somit auf jedenfall konverget ist.

Sag doch einfach: Behauptung c wird widerlegt durch die konvergente Folge (a_n) = 1/n .

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