Metrik

09.12.2008, 21:16

Gemi

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Metrik

Hallo!

Ich bin mir nich ganz sicher bei der Aufgabe und hab euer tolles Forum entdeckt!

Sei X eine nichtleere Menge und $\begin{eqnarray*} f: X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ injektiv. Zeige, dass durch

$\begin{eqnarray*} \rho(x,y) := \mid f(x) - f(y) \mid (x,y \in X) \end{eqnarray*}$

eine Metrik $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ auf X erklärt ist.

(b) Sei $\begin{eqnarray*} X := (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Warum ist f zur Metrikbildung gemäß (a) geeignet? Untersuche ob $\begin{eqnarray*} (X, \rho) \end{eqnarray*}$ vollständig ist.

(c) Gib die "Kugeln" $\begin{eqnarray*} B\left(\frac{}1{2},1\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(2,1) \end{eqnarray*}$ als Intervalle in $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ an.

(a) is trivial.

zu (b)

Es ist geeignet, da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ monton fallen und konvergent ist.

Jedoch ist ja, $\begin{eqnarray*} \lim f(x) = 0 \notin X \end{eqnarray*}$ , was also heißt, dass die Folge außerhalb von X konvergiert, also kann X nicht vollständig sein, oder? Da der per Definition ja jede Cauchyfolge in X konvergieren muss, bin ich am Überlegen!

(c) Hab ich ganz einfach eingesetzt in die Definition:

$\begin{eqnarray*} B(x,r) := \{y\in X \mid d(y,x) < r\} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich, für $\begin{eqnarray*} B\left(\frac{1}{2},1\right) \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \mid 2 - \frac{1}{y}\mid < 1 \Rightarrow x \in \left(\frac{1}{3},1\right) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} B(2,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{2}{3}, \infty\right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x \in \left(\frac{2}{3}, \infty\right) \end{eqnarray*}$

ist die Aufgaben so zu verstehen?

Wir haben das vorher noch nciht gemacht und auch nix in der Vorlesung dazu gehört!

Mfg!

09.12.2008, 21:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gemi
Es ist geeignet, da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ monton fallen und konvergent ist.

Konvergent inwiefern? Die Eigenschaft "konvergent" kann man einer Funktion ohne Weiteres nicht geben. Außerdem ist diese zusätzliche Aussage (was auch immer sie bedeuten soll) überflüssig.

Zitat:

Original von Gemi
Jedoch ist ja, $\begin{eqnarray*} \lim f(x) = 0 \notin X \end{eqnarray*}$ , was also heißt, dass die Folge außerhalb von X konvergiert, also kann X nicht vollständig sein, oder? Da der per Definition ja jede Cauchyfolge in X konvergieren muss, bin ich am Überlegen!

Welcher Grenzwert? Wie wäre es, wenn du einfach eine Cauchyfolge angeben würdest die nicht konvergiert?!

Alles andere sollte richtig sein.

09.12.2008, 21:56

Gemi

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Hallo schon mal vielen Dank für die Hilfe!

Genau das is mein Problem, ich weiß nicht wie man die Folgen wählen muss...bzw. weiß ich nicht, wie ich mir eine Folge "zusammenbasteln" darf...

10.12.2008, 16:08

Mathespezialschüler

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Du darfst dir eine beliebige Folge aus dem Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wählen. Du musst sie halt nur so wählen, dass sie dein Problem löst. Irgendeine Folge wird das natürlich nicht tun, du musst schon eine wählen, die eine Cauchyfolge ist, aber in der Metrik nicht gegen ein Element von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergiert.

11.12.2008, 18:54

Gemi

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Wähle ich z.b. die Folge $\begin{eqnarray*} a_n : = 1 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert diese ja gegen $\begin{eqnarray*} \to 1 \in X \end{eqnarray*}$ ,

Wie ist das ganze jetzt aber in der Metrik zu sehen?

Also mir ist nicht klar, wie ich auf die Konvergenz in der Metrik schließen kann, wenn ich die Folge einfach in die Metrik $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ einsetze kommt ja trivialerweise immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ raus...

Mfg!

11.12.2008, 19:56

Mathespezialschüler

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Wenn du was worin einsetzt, kommt Null raus?

Versuche es vielleicht mal mit der Folge $\begin{eqnarray*} a_n:=n \end{eqnarray*}$ .

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11.12.2008, 20:04

Gemi

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Ich meine damit nur, wenn ich die Folge in die Metrik "einsetze", komm ich dann nicht auf

$\begin{eqnarray*} p = \mid \frac{1}{n} - \frac{1}{n} \mid \end{eqnarray*}$

was ja dann für jede Folge trivialerweise 0 ist.

Mfg!

11.12.2008, 20:10

Mathespezialschüler

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Kannst du mal schildern, was genau du wo einsetzt?! Schritt für Schritt bitte. So ergibt das nämlich keinen Sinn.

11.12.2008, 20:25

Gemi

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Wenn ich die Folge, z.B. $\begin{eqnarray*} a_n := n \end{eqnarray*}$ wähle, dann ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} f(a_n) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Jedoch weiß ich nicht, wie ich damit jetzt in der Metrik $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) \end{eqnarray*}$ "umgehen muss", da ja die Metrik für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ definiert ist.

z.B. $\begin{eqnarray*} \rho = \mid f(a_n) - f(a_n) \mid \end{eqnarray*}$ wäre ja für alle Folgen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ...

11.12.2008, 20:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gemi
z.B. $\begin{eqnarray*} \rho = \mid f(a_n) - f(a_n) \mid \end{eqnarray*}$ wäre ja für alle Folgen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ...

Wenn dann ist das $\begin{eqnarray*} \rho(a_n,a_n) \end{eqnarray*}$ . Was möchtest du denn mit diesem Term anstellen? Natürlich ist $\begin{eqnarray*} \rho(x,x) \end{eqnarray*}$ immer Null, so ist ja eine Metrik definiert. Aber worauf willst du damit hinaus?

11.12.2008, 20:52

Gemi

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Ich weiß nicht, wie ich die Konvergenz der Folge außerhalb von X zeigen soll :/

11.12.2008, 21:09

Gemi

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Es gilt doch der Satz, dass eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist selbst vollständig genau dann, wenn sie abgeschlossen ist.

Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hier eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathrbb R \end{eqnarray*}$ ist aber nicht abgeschlossen, gilt dann nicht auf dieser Satz?

Wenn X abgeschlossen wäre, müsste ja $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash (0, \infty) = (-\infty, 0] \end{eqnarray*}$ offen sein, aber dem ist doch nicht so.

11.12.2008, 21:10

Gemi

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Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hier eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist aber nicht abgeschlossen, gilt dann nicht auf dieser Satz?

..sollte es heißen.

11.12.2008, 21:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gemi
Ich weiß nicht, wie ich die Konvergenz der Folge außerhalb von X zeigen soll :/

Außerhalb von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ? Was soll das bedeuten?

Und ja, der Satz gilt. Wenn du willst, kannst du ihn einfach anwenden, auch wenn es deinem Verständnis sicher nicht schaden würde, wenn du es weiter direkt versuchen würdest.

11.12.2008, 21:26

Gemi

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Ja würde ich gern.

Vollständig bedeutet ja, dass jede Cauchyfolge in X auch in X konvergiert.

Ich muss also eine Cauchyfolge finden die außerhalb von X konvergiert, aber in X liegt, richtig?

Nur komm ich dabei irgendwie mit der Metrik durcheinander, muss ich die dabei überhaupt beachten?

Mfg!

11.12.2008, 21:36

Mathespezialschüler

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Natürlich. Die Metrik muss man immer beachten. Was du gesagt hast, stimmt nicht komplett. Manchmal ist es so, dass man eine Folge findet, die in dem Raum eine Cauchyfolge ist und in einem größeren Raum konvergiert. In dem Raum selbst konvergiert sie dann nicht, weil der Grenzwert nicht dazu gehört. Das ist aber nicht immer so. Es gibt durchaus Cauchyfolgen in metrischen Räumen, die einfach divergieren, für die man also nicht auf Anhieb einen größeren Raum angeben kann, in dem sie konvergieren.

In diesem Fall ist es so, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ z.B. auch in einem größeren Raum nicht konvergiert. Sie müsste ja gegen unendlich gehen. Versuche doch erstmal, zu zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist. Was ist die Definition dafür?

11.12.2008, 21:57

Gemi

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eine Cauchyfolge im metrischen Raum bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N \forall m,n \in N, m,n > N: d(x_m,x_n) < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das heißt also ab einem bestimmten Index N, liegen alle Folgenglieder um de Punkt $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ in einer bestimmten $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung oder "Radius".

Das heißt also für die Metrik, zu zeigen wäre, dass

$\begin{eqnarray*} d(a_m,a_n) < \epsilon \end{eqnarray*}$ , also genau $\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

11.12.2008, 22:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gemi
Das heißt also ab einem bestimmten Index N, liegen alle Folgenglieder um de Punkt $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ in einer bestimmten $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung oder "Radius".

Nein, das heißt es nicht. Es heißt, dass die Abstände zweier beliebiger Folgenglieder nach $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind.

15.12.2008, 17:54

Gemi

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Ok, wäre der Rest jetzt korrekt?

15.12.2008, 18:34

Mathespezialschüler

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Ja, ich denke schon. Hab leider nicht mehr so genau den Überblick. Falls du es ganz sicher wissen willst, schreibst du also lieber nochmal deine komplette Lösung hier rein.

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