Integration durch Substitution

09.12.2008, 22:06

larsemann

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Integration durch Substitution

Hallo allerseits, hänge hier an einer Aufgabe des im Titel beschriebenen Typs und würde gerne fragen, wo ich da den Fehler gemacht habe?

Die Aufgabe beginnt folgendermaßen
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{3t}{(t^2+1)^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich wandelte sie um in:
$\begin{eqnarray*} 3 \int_{}^{} t(t^2+1)^{-2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich substituiere
$\begin{eqnarray*} g(t) = t^2+1 = y \end{eqnarray*}$

Leite ab:
$\begin{eqnarray*} g'(t) = \frac{dy}{dt} = 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(t) = dt = \frac{1}{2t}*dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \int_{}^{} t(t^2+1)^{-2}~dt = \frac{3}{2}* \int_{}^{} ty^{-2}~dy = -\frac{3}{2}* y^{-1} \end{eqnarray*}$

Nach Rücksubsitution
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}* (t^2+1)^{-1} = - \frac{3}{2t^2+2} \end{eqnarray*}$

Was habe ich falsch gemacht? Habe mir das jetzt wegen Krankheit selbst beigebracht und hoffe, ich bin nicht komplett falsch!

Grüße und keine Umstände.

09.12.2008, 22:30

outSchool

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Hallo,

bis auf die additive Konstante C alles richtig.

Freude

Freude

09.12.2008, 22:45

larsemann

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Hey, das ist ja mal erfreulich .

Also noch : $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{2t^2+2} + C \end{eqnarray*}$

09.12.2008, 22:52

MS-13

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Yo Coole sache!!!

09.12.2008, 23:22

larsemann

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Hmm ich habe irgendwo einen Fehler gemacht und zwar habe ich das

$\begin{eqnarray*} dt = 1/2 * 1/t * dy \end{eqnarray*}$

Nur das $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ vor das Integral gezogen, aber $\begin{eqnarray*} 1/t \end{eqnarray*}$ müsste doch aufgeleitet zum $\begin{eqnarray*} ln(t) \end{eqnarray*}$ werden oder?

09.12.2008, 23:27

outSchool

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Das 1/t kürzt sich mit dem Zähler, stimmt schon.

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09.12.2008, 23:28

larsemann

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Wie stimmt schon? Also kürzt sich das raus, bin gerade verwirrt.

Grüße

09.12.2008, 23:34

outSchool

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von larsemann

$\begin{eqnarray*} 3 \int_{}^{} t(t^2+1)^{-2}~dt = \frac{3}{2}* \int_{}^{} ty^{-2}~dy = -\frac{3}{2}* y^{-1} \end{eqnarray*}$

Das t muss weg

$\begin{eqnarray*} 3 \int_{}^{} t(t^2+1)^{-2}~dt = \frac{3}{2}* \int_{}^{} y^{-2}~dy = -\frac{3}{2}* y^{-1} \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 13:02

larsemann

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Hi, ja habe es mir nochmals angeschaut und habs nun auch verstanden.

Jetzt habe ich noch eine Aufgabe, mit einem bestimmten Integral, die ich gerne vorrechnen würde, da ich das ja auch noch nicht gemacht habe...Habe da etwas von Verschiebung der Integrationsgrenzen gelesen und muss mich da nochmal schlau machen.

Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^3*(1+x^4)^3~dx \end{eqnarray*}$

Ich wähle mein Substitut:

$\begin{eqnarray*} g(x) = 1+x^4 = y \end{eqnarray*}$

Leite es ab

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{dy}{dx} = 3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{1}{3x^3} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^3*(1+x^4)^3~dx = \int_{0}^{1}~(1+x^4)^3 (x^3 * dx) \end{eqnarray*}$

Substituiere ( habe ich das richtig verstanden? ), setze die Integrationsgrenzen in die g(x) ein, und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~(y^3) (x^3 * \frac{1}{3x^3} dy) = \frac{1}{3} \int_{1}^{2}~y^3 dy \end{eqnarray*}$

Ableiten und einsetzen :
$\begin{eqnarray*} [y^2]_{1}^2 = ( 4-1 ) = 3 \end{eqnarray*}$

So das war auch schon die letzte Aufgabe. Wenn mir jemand bescheinigen kann, dass es richtig ist, kann ich den Rest auch alleine und belästige hier keinen mehr , zumindest nicht mit Integrationstechniken smile

smile

10.12.2008, 13:16

outSchool

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Zitat:

Original von larsemann
Ableiten und einsetzen :
$\begin{eqnarray*} [y^2]_{1}^2 = ( 4-1 ) = 3 \end{eqnarray*}$

So das war auch schon die letzte Aufgabe. Wenn mir jemand bescheinigen kann, dass es richtig ist, kann ich den Rest auch alleine und belästige hier keinen mehr , zumindest nicht mit Integrationstechniken smile

smile

Alles richtig.
Wir helfen hier und werden nicht belästigt.
Wink

Wink

10.12.2008, 13:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von larsemann
Ableiten und einsetzen :
$\begin{eqnarray*} [y^2]_{1}^2 = ( 4-1 ) = 3 \end{eqnarray*}$

Ähh, wieso ableiten? verwirrt

verwirrt

10.12.2008, 14:05

larsemann

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So, habe meinen Fehler gefunden und hier die Aufgabe nochmals.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^3*(1+x^4)^3~dx \end{eqnarray*}$

Ich wähle mein Substitut:

$\begin{eqnarray*} g(x) = 1+x^4 = y \end{eqnarray*}$

Leite es ab

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{dy}{dx} = 3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{1}{4x^3} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^3*(1+x^4)^3~dx = \int_{0}^{1}~(1+x^4)^3 (x^3 * dx) \end{eqnarray*}$

Substituiere ( habe ich das richtig verstanden? ), setze die Integrationsgrenzen in die g(x) ein, und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~(y^3) (x^3 * \frac{1}{4x^3} dy) = \frac{1}{4} \int_{1}^{2}~y^3 dy \end{eqnarray*}$

Stammfunktion bilden und einsetzen :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} [\frac{1}{4}y^4]_{2}^1 = \frac{1}{16} [y^4]_{2}^1 = \frac{1}{16} * (16-1) = \frac{15}{16} \end{eqnarray*}$

Danke

10.12.2008, 14:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von larsemann
$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{dy}{dx} = 3x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3 \end{eqnarray*}$

Und in der letzten Zeile hast du unerklärlicherweise die Grenzen vertauscht.

10.12.2008, 14:19

larsemann

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Stimmt, habe ich bei der Überarbeitung verballert. Danke!

15.12.2008, 21:25

larsemann

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Hallo,

jetzt hänge ich bei einer e-Funktion

$\begin{eqnarray*} \int{}{} x * e^{-2x}dx \end{eqnarray*}$

Als Substitut wähle ich:

$\begin{eqnarray*} g(x) = -2x = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x) = -2 = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = - \frac{1}{2} dy \end{eqnarray*}$

Nur, wie gehts weiter.
Ich krieg das X nicht raus ://

Wenn ich das Substitut einsetze bekomme ich ja:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int{}{} x * e^y dy \end{eqnarray*}$

16.12.2008, 09:18

klarsoweit

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Hier ist nicht Substitution, sondern partielle Integration angesagt. smile

smile

16.12.2008, 11:25

larsemann

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Hi, das habe ich auch schon gemacht, nur in der Aufgabe stand deutlichst Integration durch Substitution drin.
Vielleicht sollte ich mit der Umkehrfunktion arbeiten. Ich komm nicht drauf.

Grüße

16.12.2008, 11:27

klarsoweit

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Entweder hast du die Aufgabe falsch abgeschrieben oder der Aufgabensteller hat sich vertan.

16.12.2008, 11:35

larsemann

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Ne, die ist richtig abgeschrieben und die Aufgabenstellung:
Bestimmen sie die Integrale mit Hilfe der Substitutionsregel.

Ich weiss auch, dass sie schon gelöst ist, und ärgere mich jetzt, das Ergebnis nicht nachträglich abgeschrieben zu haben.

16.12.2008, 11:50

klarsoweit

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Es bleibt dabei: mit einer Substitution kann man das Integral allenfalls etwas vereinfachen. Zum endgültigen Lösen braucht man die partielle Integration.

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