Bandmatrizen

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Bandmatrizen
Hallo,

meine Aufgabe lautet wie folgt:

a) Zeige, dass die LR-Zerlegung ohne Zeilenvertauschungen (falls durchführbar) die Struktur von Bandmatrizen in folgendem Sinne erhält:

Falls für |i-j|>p so ist für i-j>p und für j-i>p

b) Wieviele Operationen sind zur Lösung eines LGS mit einer deratigen Matrix nötig ?

c) Welche maximale Bandbreite haben L und R bei Spaltenpivotsuche und wieviele Operationen sind dann nötig ?

Was Bandmatrizen sind habe ich mir bei wiki und hier im Board mal angeschaut und auch verstanden, im Zusammenhang mit der LR Zerlegung bekomme ich das aber irgendwie nicht gebacken verwirrt

Gruß Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bandmatrizen
Du musst doch (nur) zeigen, dass die Nullen erhalten bleiben. Ohne Povot kannst du doch "direkt" die Frobeniusmatrizen L angeben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bandmatrizen
Es ist doch für i>1



Oder allgemein für i > k



Das wir nicht durch 0 teilen sichert uns die Aufgabenstellung. Nun sind 2 Dinge zu zeigen.

1. die Forbeniusmatrizen sind auch Bandmatrizen.

2. die neuen A-Matrizen sind auch Bandmatrizen.


Das müssen wir 1mal durchlaufen. Sei A eine Bandmatrix der Bandbreite2p +1, d.h. es gibt unterhalb /oberhalb der Diagonalen noch p Nebendiagonalen "ungleich 0". Die restlichen Elemente sind gleich 0. Besonders für die erste Spalte von A bedeutet dies:



Damit folgt direkt:



Sollte die Matrix LA die gleiche Bandbreite wie A haben, so ist klar, dass die endgültige Matrix L der Zerlegung A=LR die untere Bandbreite p hat. Das folgt direkt aus ihrer Berechnugsvorschrift. Betrachten wir nun die Einträge von



Hier musst du nun einfach ein Eintragsweise vorgehen und in der Berechnungsvorschrift die jeweiligen Nullen finden. Mach es von mir aus an einem Beispiel und schreibe es dann allgemein hin. Sollte nicht schwer sein, sondern nur lästig mit den Indizes.
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