Komplemente von Unterraum

10.12.2008, 12:41

brainfever

Komplemente von Unterraum

Ich habe hier noch eine kurze Aufgabe:

Wieviele Komplemente hat ein eindimensionaler Unterraum des $\begin{eqnarray*} F_{13} \end{eqnarray*}$ -Vketorraumes $\begin{eqnarray*} F_{13} x F_{13} \end{eqnarray*}$ ?

Mir ist klar, was ein Unterraum ist aber wie kann ich die Anzahl der Komplemente eines Unterraumes berechnen?

10.12.2008, 13:27

Reksilat

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RE: Komplemente von Unterraum
Als erstes musst Du schauen wie viele eindimensionale Unterräume es in $\begin{eqnarray*} F_{13}^2 \end{eqnarray*}$ gibt. Dann überlegst Du Dir, was hier Summe und Durchschnitt von zwei verschiedenen Unterräumen sein können, es gibt da nämlich nicht wirklich viele Möglichkeiten.

Latextipp: $\begin{eqnarray*} F_{13}\times F_{13} \end{eqnarray*}$ = F_{13}\times F_{13}

10.12.2008, 20:42

brainfever

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Oje, wie berechnet man denn die Anzahl der eindimensionalen Unterräume?

Und wie ist das gemeint: "was hier Summe und Durchschnitt von zwei verschiedenen Unterräumen sein können"?

10.12.2008, 22:44

Reksilat

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Wir stellen den Vektorraum mal so dar:
$\begin{eqnarray*} V=F_{13}\times F_{13}=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\big|x,y\in F_{13}\right\} \end{eqnarray*}$
1. Wie viele Elemente hat dann V?

Nun schauen wir uns einen eindimensionalen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ an, dieser wird von einem einzigen Vektor erzeugt.
2. Wie viele Elemente hat U?

Jeder Vektor $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ liegt in genau einem eindimensionalen Unterraum, nämlich in $\begin{eqnarray*} <v> \end{eqnarray*}$
3. Wie viele eindimensionale Unterräume gibt es also insgesamt?

Seien $\begin{eqnarray*} U_1=<v_1> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2=<v_2> \end{eqnarray*}$ zwei eindimensionale Unterräume.
4.Welche Dimension kann $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ haben? (Es gibt zwei Möglichkeiten)

17.02.2011, 16:33

msc77777

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Hallihallo

Ich lebe zwar ungern ein verstaubter Thread wieder auf, aber ich sitz schon so lange vor meinen Überlegungen zu der Anzahl von Komplementen, da ich nun Rat im Forum suche.
Da dieser Thread so ziemlich dasjenige anspricht, was ich noch nicht ganz versteh, seh ich es als adäquat, diesen wieder aufleben zu lassen...

Das Beispiel mit dem F_13 ist ganz ok.

Ich geh mal nach dem Schema von Resilat vor:

1.) Es leben 13^2 Elemente in diesem VR.

2.) In einem eindim. UR leben 13 Elemente. (da die Basis jeweils mit einem der dreizehn El. multipl. werden kann).

3.) Mit der Anzahl der möglichen UR tat ich mich seehr schwierig. Zuerst überlegte ich mir, dass es die drei möglichkeiten {(1,0)}, {(0,1)}, {(1,1)} als Basen von UR geben kann. Ich sah dann aber schnell, dass {(2,1)} oder {(3,1)} auch dazu gehören können aber z.B. {(2,1)} und {(4,2)} zwei Basen zum selben UR sind. Ich verwirrte mich selber immer mehr mit meinem kombinatorischen Katastrophendenken, bis ich mir eine Tabelle aufzeichnete und alle lin. abh. Kombinationen herauszupfte und kam mit Stirnrunzeln auf 93 möglichen UR (ohne {(0,0)}). Ausser, dass die UR Geraden mit der Steigung der jeweiligen Verhältnis von den Koord. darstellen, konnte ich kein Muster erkennen, um von der Angabe F_13 auf die Anzahl UR zu kommen. Tipp?

4.) Naja die Schnittmenge aller UR ist logischerweise {(0,0)}. Warum sich da eine zweite Möglichkeit herumtummelt ist mir auch noch nicht ganz klar.

Vielen Dank für die (hoffentlich kommende) Antwort

17.02.2011, 17:35

Reksilat

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Zu 3):
Du hast meinen Hinweis nicht beachtet:

Zitat:

Original von Reksilat
Jeder Vektor $\begin{eqnarray*} 0\neq v\in V \end{eqnarray*}$ liegt in genau einem eindimensionalen Unterraum, nämlich in $\begin{eqnarray*} <v> \end{eqnarray*}$

Du hast 168 Vektoren, die nicht 0 sind.
Je acht davon liegen gleichzeitig in einem Unterraum und dieser Unterraum ist auch durch jeden dieser Vektoren eindeutig bestimmt.
Wie kannst Du das also zusammenfassen?

Zu 4):
Die Unterräume können auch gleich sein. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

17.02.2011, 18:47

msc77777

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'Tag Reksilat

Wie kommst du auf je acht, welche im selben UR sind?
Z. B. liegen doch (1,1), (2,2), ... , (11,11), (12,12) alle im selber UR und sind mehr als acht Vektoren.
Es sind zwölf. Ich hab die Dinger nochmals durchgerechnet. Wenn ich mit einem Verhältnis der Koordinaten anfange und mit möglichen Faktoren multipliziere, komme ich nach zwölf Multiplikationen immer wieder an den Anfangsvektor. Ergo müssten immer zwölf Vektoren in einem UR sein.
Bsp: Verhältnis 2/3 also: (2,3), (4,6), (8,12), (3,11), (6,9), (12,5), (11,10), (9,7), (5,1), (10,2), (7,4), (1,8), (2,3) <-----der dreizehnte ist wieder identisch.

Die Sache wird langsam klarer.
Wenn es nun zwölf wären, haben wir insgesamt 14 verscheiden mögliche UR ohne (0,0), also 13 Komplemente eines bel. UR.
Wie kann man die Richtigkeit dieser durch eine Tabelle gewonnenen Erkenntnis mathematisch formal beweisen? Der einzige Ansatz, der ich da seh, ist nach weiteren Mustern zwischen den verschiedenen Verhältnissen zu suchen und das ganze in eine Formel zu packen. Scheint mir aber nicht das gelbe vom Ei zu sein...

zu 4.)
ach so, dann hätten wir

$\begin{eqnarray*} \mathrm{dim}(U_1\cap U_2)=1 \end{eqnarray*}$

wenn die zwei UR id. sind und

$\begin{eqnarray*} \mathrm{dim}(U_1\cap U_2)=0 \end{eqnarray*}$

wenn sie versch. sind.
richtig?

17.02.2011, 18:52

Reksilat

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Ja, sorry. $\begin{eqnarray*} 13-1\neq 8 \end{eqnarray*}$ LOL Hammer

Ich meinte 12.

Nimm einen Vektor $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \langle v\rangle=\{a\cdot v|a\in K\}=\{0,v,2\cdot v,...,12\cdot v\} \end{eqnarray*}$ der davon erzeugte Unterraum.
Jeder dieser zwölf(!) Vektoren ist nur in genau diesem eindimensionalen UR und in keinem anderen.

Du kannst also ohne Tabelle aller Vektoren rausfinden, wie viele es sind:
$\begin{eqnarray*} |V\setminus\{0\}|=168 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 168=12\cdot 14 \end{eqnarray*}$

Also gibt es 14 eindimensionale UR.

zu 4): Ja.

17.02.2011, 19:13

msc77777

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ja klar! mensch, machmal frag ich mich schon, wo mein hirn geblieben ist. das geht ja direkt aus den linearkombinationen hervor.

Vielen Dank.

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Komplemente von Unterraum

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