Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

10.12.2008, 16:22

mohrle

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Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

Guten Abend Wink

Wink

Ich bin gerade in der 8. Klasse Realschule und wir machen das Thema Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung. Ich habe aber keinen Plan wie das funktionieren soll und die komischen a und b formeln im Buch helfen mir GAR NIX. Könnte mir das einer BITTE erklären? Hier eine Aufgabe die wir als Hausaufgabe aufhaben:
-x²+4x+4
und dann noch mit Brüchen:
-1/4x²+x+4

10.12.2008, 16:29

Zizou66

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Das was da steht ist ja nur ein Term, mach doch mal eine Gleichung draus.
Wie geht ihr denn vor, um den Extremwert zu bestimmen?

10.12.2008, 16:36

mohrle

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Wie? Eine Gleichung?
Also der Lehrer hat uns einen Klapptest gegeben wo rechts die Aufgabe steht und links (zum umklappen) die Lösung also bei Lösung steht einmal da:
=-(x-2)²+8 , Tmax = 8 für x=2

und beim 2.
= -1/4(x-2)²+5

ich kapier das von Grund auf nicht. Es heißt ja man soll Ausklammern und so aber das weiß ich ja auch nicht mal...

10.12.2008, 16:45

Zizou66

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Nunja, wir wollen ja zur Lösung kommen und wissen wie wir dahin kommen und sie nicht nur kennen.

Eine Gleichung ist etwas wo auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen etwas steht. Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} y=-x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$

Ich schätze mal ihr macht quadratische Ergänzung, um zum Ergebnis zu kommen.

Wie könnte man denn die rechte Seite von

$\begin{eqnarray*} y=-x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$

ergänzen und umformen, so dass daraus eine binomische Formel wird?

10.12.2008, 16:48

mohrle

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Wir machen das so, dass irgendwann mal was dazugezählt wird und sofort wieder abgezogen wird... Also glaub ich mal +4 - 4 .. oder?

10.12.2008, 17:10

Zizou66

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Ja, das ist quadratische Ergänzung. Allerdings ist deine Angabe dazu nicht ganz richtig.
Nach welchem Prinzip wird immer dazuaddiert und wieder abgezogen?

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10.12.2008, 17:42

mohrle

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Keine Ahnung unglücklich

unglücklich

Aber ich schreib dir mal ne Aufgabe ab:

-x2+3x-2
= - (x²-3x+1,5²-1,5²)-2
= - (x²-3x+1,5²) + 1,5² -2
= - (x-1,5)² + 0,25

Sorry aber ich checks echt gar nicht Tränen

Tränen

Tränen

Wenn ich ne Aufgabe vor mit liegen hab, schau ich sie an und weiß nicht was zu tun ist.. traurig

traurig

Gott

10.12.2008, 18:20

Zizou66

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Hmm, ich kann dir zwar das Verfahren erklären und dir auch Links geben zu Seiten, die dieses Thema erklären, da ihr dieses Thema aber doch gerade im Unterricht behandelt und du es offensichtlich nicht verstanden hast, fragst du wohl zuerst am besten nochmal bei deinem Lehrer nach. Der kann auch sicherlich besser erklären als ich.
Du brauchst aber auf keinen Fall zu verzweifeln, wenn du das Verfahren einmal verstanden hast, wird es dir ganz einfach von der Hand gehen. Es ist wirklich nicht schwer smile

smile

10.12.2008, 18:49

mohrle

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Die Lehrer haben keine Zeit für uns Schüler und sagen wir sollen selber zurecht kommen und im Buch etc. nachschlagen nur leider stehen da nur solche Formeln mit a und b und so.. Zurzeit machen wir nur Übungen (Fragen bringt bei dem Lehrer eigtl. fast nix weil ers sowieso nicht nochmal erklärt unglücklich

unglücklich

) Trotzdem Danke Tanzen

Tanzen

13.02.2009, 14:50

(: :)

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antwort der ersten frage
ich wollte dir einfach mal meinen eigenen lösungvorschlag vorschlagen, ich habe das thema auch derzeit in der schule und versuche es einfach mal:

-x²+4x+4 = Das ist der Term
-(x²-2x)+4= du musst dann das - ausklammern und die binomische formel einklammern
-[(x²-2~1x+1²)-1²]+4= jetzt musst du die binomische formel(in diesem fall die 2.) rausschreiben. ich nehme für mal einfach dieses ~ zeichen.
-[(x-1)²-1]+4= das in der runden klammer ist die fertige binomische formel. die 1 ist die quadratische ergänzung, welche ich wieder abziehen muss(siehe einen schritt weiter oben)
-(x-1)²+1+4= jetzt löse ich die eckige klammer auf, und da ich davor ein minus stehen habe, muss ich das vorzeichen umdrehen
-(x-1)²+5 das hinter der klammer zusammenfassen und du hast es jetzt fertig zusammengefasst.

Tmax=5 für x=1 das ist die extremwertbestimmung

20.01.2010, 14:53

KAB00M_

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Extremwertbestimmung
Heii ;D

ich behandle auch gerade in der 8.Klasse dieses Thema und kenn mich ebenfalls nciht aus.

Jetzt wollte ich einfach mal in dieses Forum schreiben , weil ich schreibe morgen eine ex und ich check das überhaupt nicht.

der lehrer eklärt auch nichts außerdem ist es dafür zu spät.

könntet ihr mir das nochmal erklären

bzw. wir hatten heute hausaufgabe auf und zwar.

ich schreib die aufgabe und die aufgabestellung einfach mal ab.

also :

Ermittle den Extremwert des Terms durch quadratische Ergänzung

T (y) = y² - y + 1,25

das check ich gar nicht.

wäre voll toll wenn ihr es mir erklären könntet.

lg. KAB00M_

20.01.2010, 15:00

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Überführe $\begin{eqnarray*} y^2 - y + 1,25 \end{eqnarray*}$ mittels quadratischer Ergänzung in einen Ausdruck mit der Form $\begin{eqnarray*} (y - ...)^2 + ... \end{eqnarray*}$ .

20.01.2010, 15:05

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
sorry Big Laugh

Big Laugh

aber geht die erklärung auch auf 8.Klässler ( isch ) ?

lg KAB00M_

20.01.2010, 15:05

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
könntest du mir die komplette lösung schicken.

das ich mich da mal reinarbeiten könnte. ?

20.01.2010, 15:17

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Nein. Siehe auch: Prinzip "Mathe online verstehen!"

Ich gehe auch mal davon aus, daß du das Thema "quadratische Ergänzung" im Unterricht hattest, sonst würden ja solche Aufgaben nicht gestellt werden. Im Grunde ist das Prinzip einfach;

Gesucht sind Zahlen a und b, so daß $\begin{eqnarray*} y^2 - y + 1,25 = (y + a)^2 + b \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt rechne die Klammer auf der rechten Seite aus und vergleiche die Terme auf beiden Seiten.

20.01.2010, 15:25

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
also ist in diesem fall dann eingesetzt so oda

( y -y ) ² + 1,25 ?

ist das richtig ?

20.01.2010, 15:27

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Das ist einfach nur 1,25, denn y - y = 0.

20.01.2010, 15:29

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
oh !

Ja genauu.

dankeschön Tanzen

Tanzen

aber unser lehrer hat i.was von ausklammern und binomischen formeln gesagt wie passt das dann zusammen. ?

20.01.2010, 15:33

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
und dann kommt ja also lösung.

also als gesammtlösung dieser aufgabe

Minimum = 1,25 , x = 0

raus oder ?
wenn das stimmt dann hab ich's kappiert.

20.01.2010, 15:35

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Deswegen:

Zitat:

Original von klarsoweit
Gesucht sind Zahlen a und b, so daß $\begin{eqnarray*} y^2 - y + 1,25 = (y + a)^2 + b \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt rechne die Klammer auf der rechten Seite aus und vergleiche die Terme auf beiden Seiten.

Du mußt einfach das machen, was da steht. Durch den Vergleich der beiden Seiten bekommst du die Werte für a und b.

Alternativ (wenn dir obiges nicht so zusagt): du mußt den Term $\begin{eqnarray*} y^2 - y \end{eqnarray*}$ so um eine Zahl ergänzen, daß du (in diesem Fall) die 2. binomische Formel anwenden kannst. Merkregel: diese Zahl ist das Quadrat von dem halben Faktor vor dem y.

20.01.2010, 15:38

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
ich setz mal ein

y²-y+ 1,25 = (y-y) ² + 1,25 = Minimum = 1,25 , x = 0

weil ich muss ja rausfinden ob das ein minimum oder maximum ist.

20.01.2010, 15:50

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung

Zitat:

Original von KAB00M_
y²-y+ 1,25 = (y-y) ² + 1,25

Wie du leicht siehst, kann das nicht stimmen. Es ist eben nicht $\begin{eqnarray*} y^2 - y = (y - y)^2 \end{eqnarray*}$ .

Es geht darum, daß man zu dem $\begin{eqnarray*} y^2 - y \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ergänzt (= quadratische Ergänzung), so daß man eine binomische Formel anwenden kann. Das geht so:

$\begin{eqnarray*} y^2 - y = y^2 - 2 \cdot \frac 1 2 y = y^2 - 2 \cdot \frac 1 2 y + (\frac 1 2)^2 - (\frac 1 2)^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du siehst jetzt wenigstens, wo die binomische Formel ist.

20.01.2010, 15:52

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
gibt's für diese formel auch eine eselsbrücke ?

20.01.2010, 15:55

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
ich versuch's mal nochmal.

also :

T (y) = y² -y + 1,25

= y² - 2 * x * 0,625 + 0

stimmt der anfang. ??

20.01.2010, 15:57

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Was soll denn das x da?

Also dann mache ich den letzten (kleinen) Schritt auch noch, denn ich habe keine Zeit mehr:

$\begin{eqnarray*} y^2 - y = y^2 - 2 \cdot \frac 1 2 y = y^2 - 2 \cdot \frac 1 2 y + (\frac 1 2)^2 - (\frac 1 2)^2 = (y - \frac 1 2)^2 - (\frac 1 2)^2 \end{eqnarray*}$

20.01.2010, 16:01

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
ähmm sorry das sollte ein y sein.

supper. !!

20.01.2010, 16:04

klarsoweit

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RE: Extremwertbestimmung
Nun ja, jetzt bin ich gespannt, ob du den Rest der Aufgabe selber schaffst.

20.01.2010, 16:19

KAB00M_

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RE: Extremwertbestimmung
schaff ich nicht .
weil die hilfe für'n arsch war
des checkt doch keiner.

20.01.2010, 16:25

Iorek

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Vielleicht hättest du die Hilfe auch ernsthafter annehmen sollen. Du hast aber nicht das gemacht, was dir gesagt wurde, sondern eigene Rechenschritte und vor allem Regeln kreiert, die dann natürlich nicht zum Ziel führen.

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