Matrix

10.12.2008, 16:56

Milena25

Matrix

Hallo liebe Community, ich scheitere an einer Aufgabe, die wie folgt lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{m\times n} \end{eqnarray*}$ eine Matrix vom Rang $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt:

a) $\begin{eqnarray*} m>r \Leftrightarrow \exists b\in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(A,b)=\phi \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} n>r \Leftrightarrow \exists b\in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |L(A,b)|\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

d) $\begin{eqnarray*} n=m=r \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jedes $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

Im Prinzip weiß ich ungefähr wie ich z.B die a zeigen will, nur ich weiß nicht wie ich es Formulieren soll:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} m>r \end{eqnarray*}$ bedeutet dass es ein Vektor $\begin{eqnarray*} m_i\in A \end{eqnarray*}$ gibt, dass aus lauter Nullen besteht, also ein Nullvektor ist und gleich einem $\begin{eqnarray*} b_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt werden soll. Daraus folgt, dann dass die Lösungsmenge leer ist.

Ich bitte jetzt schonmal um Entschuldigung falls es schlecht formuliert ist. Wie kann man es besser formulieren, bzw. ist es überhaupt richtig?

Danke

Naja wie formuliert man sowas?
$\begin{eqnarray*} m>r\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Vektoren aus A sind ein Erzeugendensystem, da es $\begin{eqnarray*} m-r \end{eqnarray*}$ mehr Vektoren gibt als den Rang von A. Das heißt man kann jeden Vektor $\begin{eqnarray*} m_i, i=1,...,r \end{eqnarray*}$ aus A mithilfe von Linearkombinationen darstellen. Wähle nun eine Basis in A, durch reduzierte Zeilenstufenform. Man erhält $\begin{eqnarray*} m-r \end{eqnarray*}$ Nullvektoren, mit $\begin{eqnarray*} 0=b_{r+1}=...=b{m} \end{eqnarray*}$ . Es existiert ein $\begin{eqnarray*} b_j\neq0, j=r+1,...m\Rightarrow L(A,b)=\phi \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 17:02

tigerbine

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RE: Matrix
Was ist denn L? Der Lösungsraum?

Wir haben eine mxn Matrix, die Maximal den Rang=min(m,n) besitzen kann. Sie habe den Rang r.

Eine Fallunterscheidung nach m und n macht imho erst dann Sinn, wenn wir etwas über die Beziehung zwischen m und n wissen.

10.12.2008, 17:09

Milena25

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RE: Matrix
Hi Tigerbine,

also L ist der Lösungsraum richtig.

Was meinst du mit deiner Aussage? Das uns Informationen fehlen bezüglich n?

Also in einer Aufgabe vorher, habe ich genau dein Argument gezeigt, dass stets $\begin{eqnarray*} r\leq min\{m,n\} \end{eqnarray*}$ gilt.

10.12.2008, 17:18

tigerbine

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RE: Matrix

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m>r \Leftrightarrow \exists b\in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(A,b)=\phi \end{eqnarray*}$

Genau dann wenn die Zeilenzahl größer ist als der Rang gibt es mindestens einen Vektor im Zielraum, der nicht im Bild der linearen Abbildung liegt.

Wir haben hier eine lin. Abbildung der Art: $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \to \mathbb K^m \end{eqnarray*}$ Dabei ist der Bildraum ein UVR der Dimension r $\begin{eqnarray*} Im(A) \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .Folglich existiert mindest ein Vektor $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb K^m \setminus\{Im(A)\} \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 17:22

Milena25

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RE: Matrix
Ich verstehe und so muss man das ganze also argumentieren?
Dieses Symbol hatten wir noch nicht: $\begin{eqnarray*} Im(A) \end{eqnarray*}$ , kannst du sagen was das bedeutet? Meinst du damit Bild von A?

10.12.2008, 17:26

tigerbine

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RE: Matrix
Ja, das Bild. Image. Augenzwinkern

Muss nicht, aber ich würde, da A allgemein geben ist, von Speziellen Gestalten absehen.

10.12.2008, 17:37

Milena25

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RE: Matrix
Ok du hast somit diese " $\begin{eqnarray*} Rightarrow \end{eqnarray*}$ " gezeigt.
Jetzt fehlt noch.
" $\begin{eqnarray*} Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

Da $\begin{eqnarray*} L(A,b)=\phi \end{eqnarray*}$ existiert mindestens ein ein Vektor $\begin{eqnarray*} b\in K^m\setminus {\text{Bild f}} \end{eqnarray*}$ im Zielraum, der nicht im Bild der linearen Abbildung liegt.
Es gilt weiterhin $\begin{eqnarray*} \dim \text{Bild f}=r=\dim S(A) \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} m>r \end{eqnarray*}$ ist.

Geht das so?

10.12.2008, 17:39

tigerbine

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RE: Matrix
im Grunde kann man die Kette hier ja umdrehen. b liegt im Zielraum, aber nicht um Bildraum. Somit ist der Bildraum echt kleiner als der Zielraum, d.h. r < m.

10.12.2008, 17:44

Milena25

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RE: Matrix
Ok.

Wie muss ich das nun bei der b) machen.
Da ist ja $\begin{eqnarray*} n>r \end{eqnarray*}$
Gedanklich stelle ich mir das vor, wenn ich weniger Gleichungen als unbekannte habe, dann bekomme ich halt unendlich viele Lösungen raus indem ich ein Variable beliebig lasse.
Aber wie kann ich das ausdrücken, was ich meine...

10.12.2008, 17:50

tigerbine

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RE: Matrix

Zitat:

b) $\begin{eqnarray*} n>r \Leftrightarrow \exists b\in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |L(A,b)|\geq 2 \end{eqnarray*}$

=>
b ist ein Vektor des Bildraums und läßst sich als Linearkombinatin der Spaltenvektoren von A darstellen. Diese sind, wegen r < n, linear abhängig. Also kannst du b auf mehrere Arten linear kombinieren.

10.12.2008, 17:57

Milena25

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RE: Matrix
Super, c könnte ich doch genauso argumentieren, nur da sind die Spaltenvektoren wegen r=n linear unabhängig und somit eindeutig, oder?

10.12.2008, 17:58

tigerbine

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RE: Matrix
ja.

10.12.2008, 18:01

Milena25

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RE: Matrix
Vielen dank Tigerbine smile