Stetig

10.12.2008, 19:10

energyfull

Stetig

hallo, leute bräuchte hilfe bei einer aufgabe:

sei $\begin{eqnarray*} f\in \Im (X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen: 1) falls $\begin{eqnarray*} a\in X' \end{eqnarray*}$ (d.h a ein Häufungspunkt von X ist), dann ist f in a stetig genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f(a) =\lim_{x \to a} f(x) \end{eqnarray*}$

und 2)

wenn $\begin{eqnarray*} a \not\in X' \end{eqnarray*}$ dann ist f in a stetig

11.12.2008, 19:36

Abakus

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RE: Stetig
Was bedeutet hier dieses $\begin{eqnarray*} f\in \Im (X) \end{eqnarray*}$ ?

Und wie habt ihr Stetigkeit definiert? Das ist hier wichtig zu wissen.

Grüße Abakus smile

11.12.2008, 19:50

energyfull

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das ist einfach f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ F denke ich mal

stetigkeit:
leere Menge $\begin{eqnarray*} \neq x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f\in F(x) & a \in X \end{eqnarray*}$

- f in a stetig wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \delta \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \in X \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} |x-a| < \delta => (f(x) -f(a))< \epsilon \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 19:51

Dual Space

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Zitat:

Original von energyfull
das ist einfach f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ F denke ich mal

Na super. Was bitte ist F?

11.12.2008, 19:51

Duedi

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[einmischende Nebenbemerkung] $\begin{eqnarray*} \not\in \end{eqnarray*}$ schreibt man mit \not\in im LaTex-Code [/einmischende Nebenbemerkung]

11.12.2008, 20:10

energyfull

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danke duedi, habe es verbessert.

also $\begin{eqnarray*} F(x): =( f, f:X => \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

reelle funktion auf x.

so hatten wir es definiert

12.12.2008, 16:05

Abakus

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Zitat:

Original von energyfull
danke duedi, habe es verbessert.

also $\begin{eqnarray*} F(x): =( f, f:X => \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

reelle funktion auf x.

so hatten wir es definiert

OK, die bleibende Frage ist noch, was das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein soll? Vermutlich eine Teilmenge der reellen Zahlen?

(Statt dem => brauchst du \rightarrow = $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ oder \to = $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ )

Gut, du sollst nun eine Äquivalenz zeigen. Das kannst du zB, indem du jede Richtung einzeln zeigst. Dazu wäre zu überlegen, was die Aussage mit dem Limes überhaupt bedeutet, hast du dazu eine Definition?

Grüße Abakus smile

12.12.2008, 19:23

energyfull

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wir hatten mal gesagt

$\begin{eqnarray*} f \in F(X), a\in X \end{eqnarray*}$

dann ist f stetig in a <=> $\begin{eqnarray*} \forall (a_n)_n \end{eqnarray*}$ Folge in X mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n } a_n = a \end{eqnarray*}$
gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) = f(a) \end{eqnarray*}$

ich weis man muss bei <=>

zwei schritte machen einmal:

"=>"
und

"<= "

wie soll ich das aber hier machen

14.12.2008, 16:26

energyfull

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kann mir nochmal einer bei dieser aufgabe helfen

14.12.2008, 18:08

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
OK, die bleibende Frage ist noch, was das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein soll? Vermutlich eine Teilmenge der reellen Zahlen?

Die Frage wartet noch auf eine Antwort und die ist nicht ganz unwichtig. Schließlich muss klar sein, in welchen Räumen man sich bewegt.

Ansonsten musst du zwei Richtungen zeigen, ja. Bei einem solchen Beweis schreibst du erstmal deine Voraussetzungen hin, also zB für die Hinrichtung:

Sei $\begin{eqnarray*} \in X' \end{eqnarray*}$ und f stetig in a. Sei weiter $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine gegen a konvergente Folge.

Nun überlegst du, was du eigentlich zeigen willst: das ist die Konvergenz der Bildfolge $\begin{eqnarray*} (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ gegen f(a). Also:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Du suchst jetzt ein N, so dann $\begin{eqnarray*} |f(a_n) - f(a)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N.

Jetzt nutzt du die Voraussetzung aus:

Zum obigen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Stetigkeitsbedingung gilt.

Jetzt überlegst du, was das mit der ursprünglichen Folge zu tun hat:

Da $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ja gegen a konvergiert, gibt es ein M, so dass $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \delta \end{eqnarray*}$ für alle n > M gilt.

Kannst du fortsetzen?

Grüße Abakus smile

14.12.2008, 19:07

energyfull

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ich weiss auch nicht so sehr, dieses X ist glaub ich der Definitionbereich.

=> $\begin{eqnarray*} \forall n > M: x= a_n \in X & |x-a| < \delta => \forall n > M \end{eqnarray*}$

|f( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) -f(a)| = |f(x) -f(a)|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

15.12.2008, 00:46

Abakus

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Zitat:

Original von energyfull
ich weiss auch nicht so sehr, dieses X ist glaub ich der Definitionbereich.

Nehmen wir an, X ist nichtleere (!) Teilmenge der reellen Zahlen.

Zitat:

=> $\begin{eqnarray*} \forall n > M: x= a_n \in X & |x-a| < \delta => \forall n > M \end{eqnarray*}$

|f( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) -f(a)| = |f(x) -f(a)|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Was ist hier das x? Zunächst eine nichtdefinierte Variable, die da so nicht hingehört: du kannst in einem Beweis keine Dinge verwenden, die vorher nicht erklärt sind (du meinst hier schon das Richtige, wesentlich ist aber wie es aufgeschrieben wird).

Es reicht, wenn du zB schreibst:

Aufgrund der Stetigkeit gilt damit insbesondere $\begin{eqnarray*} |f(a_n) -f(a)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > M. Damit erfüllt N := M die geforderten Bedingungen (damit hätte ich das M im Beweis gar nicht erwähnen brauchen).

Grüße Abakus smile

15.12.2008, 09:53

energyfull

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ok somit hat man ja die hinrichtung: "=>" gezeigt,

jetzt kommt die rückrichtung: "<="

kann ich das so machen:

sei f unstetig in a.

dann $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0 $\begin{eqnarray*} \forall \delta >0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists x\in X \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$

wie kann ich das hier weitermachen

??

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