Einige Fragen zur Analysis

01.09.2006, 19:34

PG

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Einige Fragen zur Analysis

hi

1. kann man die h-methode auch für gebrochenrationale funktionen verwenden oder nur ganzrationale?

2. wir haben eine eindeutige funktion und wollen sie umkehren:

bsp: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f^{-1}(x)|=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

warum muss man für y betragsstriche setzen?

danke

01.09.2006, 20:07

system-agent

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1.
die h-methode muss für alle diff'baren funktionen möglich sein, denn die ableitung wird ja definiert als der differentialquotient, gleich ob du den "normalen" mit $\begin{eqnarray*} x\to x_0 \end{eqnarray*}$ oder den mit der h-methode $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ nimmst.

2.
du hast
$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$
das musst du für die umkehrfunktion nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen, dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} y=x^2\Leftrightarrow x=\mid \sqrt{y} \mid \end{eqnarray*}$
also quasi 2 funktionen:
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x=-\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

01.09.2006, 20:16

PG

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1. was sind diffbare funktionen?

2. in der gemeinschaft haben wir für das y ein betragsstrich gesetzt. ist es egal, auf welcher seite man den betragsstrich setzt, hauptsache betragsstrich? außerdem hast du bestimmt absichtlich noch nicht x und y vertauscht, vermute ich!

01.09.2006, 20:20

system-agent

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differenzierbare funktionen sind solche, bei denen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x<x_0 \end{eqnarray*}$ gleich ist wie $\begin{eqnarray*} x>x_0 \end{eqnarray*}$ , also wenn der links- und rechtsseitige grenzwert existieren und gleich sind.

ja, die vertauschung habe ich absichtlich noch nicht vorgenommen.
laut definition vom betrag ist
$\begin{eqnarray*} \mid x\mid =\pm x \end{eqnarray*}$
daher kann ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{y} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid =\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

01.09.2006, 20:25

JochenX

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RE: Einige Fragen zur Analysis

Zitat:

Original von PG
warum muss man für y betragsstriche setzen?

das ist in dem Zusammenhang schlichtweg falsch.

Die Zuordnungsvorschrift $\begin{eqnarray*} |y|=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist keine Funktion mehr.
Das liegt einfach daran, dass du $\begin{eqnarray*} x=y^2 \end{eqnarray*}$ NICHT eindeutig nach x auflösen kannst, wenn du keine Einschränkungen machst.

Die Kurve $\begin{eqnarray*} y(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist auf ganz IR betrachtet NICHT injektiv, also NICHT umkehrbar.

Zum Auflösen:
du musst $\begin{eqnarray*} y^2=x \end{eqnarray*}$ nach y auflösen.
Für negative x darf das schon mal gar nicht gehen, okay, diese Info bleibt erhalten, da x danach unter der Wurzel steht.
Jetzt gibt es (außer für 0) aber immer 2 y-Werte, die zum Quadrat ein solches x geben. Zu einem Wert noch den negativen.

edit:

Zitat:

llaut definition vom betrag ist
$\begin{eqnarray*} \mid x\mid =\pm x \end{eqnarray*}$

aha!?

01.09.2006, 20:30

system-agent

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RE: Einige Fragen zur Analysis

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

llaut definition vom betrag ist
$\begin{eqnarray*} \mid x\mid =\pm x \end{eqnarray*}$

aha!?

zugegeben, etwas zu schlampig aufgeschrieben Forum Kloppe

Forum Kloppe

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01.09.2006, 20:44

PG

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ok so langsam versteh ich das.

diffbar ist die abkürzung für differenzierbar?

injektiv eine andere bezeichnung für eindeutig?

danke mehr fragen habe ich nicht, wenn das stimmt!

01.09.2006, 20:48

system-agent

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das ist eine abkürzung hier im matheboard, aber ich glaube nicht dass es als standard anerkannt wird smile

smile

für die existenz einer umkehrfunktion muss eine funktion auf dem intervall bijektiv sein. injektiv bedeutet bedeutet lediglich, dass jeder wert der wertemenge von der funktion in dem intervall nur einmal (oder auch keinmal) angenommen wird.

01.09.2006, 20:53

marci_

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also bei umkehrbar muss doch die funktion streng monoton steigend/fallen sein, so dass jedem x-wert nur ein y-wert zugeordnet werden kann?
somit ist f(x)=x² nur auf bestimmten intervallen umkehrbar, oder?

01.09.2006, 20:59

system-agent

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ganz genau, und die forderung nach bijektivität leistet genau das, denn dann wird (wirklich) jeder wert der wertemenge genau einmal angenommen. man spricht auch von eineindeutigkeit.

bei
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
ist das erstmal nicht gegeben, es sei denn man betrachtet
$\begin{eqnarray*} f:\;\;\mathbb{R}^+\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
(oder eben im intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty;0] \end{eqnarray*}$ )

ist bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ die null eigentlich dabei oder nicht?

01.09.2006, 21:02

Egal

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Ich würde sagen diffbar ist ein gängiger Ausdruck der in jeder Mathevorlesung so vorkommt. Das er nicht in Publikationen verwendet wird ist klar aber selbst auf den Übungszetteln geht der Ausdruck problemlos durch.

Wichtig ist da eher, dass der Leser nicht erst raten muss was der Schreiber gemeint haben könnte und da ist diffbar eine weitverbreitete Abkürzung die jeder der etwas Mathe im Unistudium genossen hat eigentlich kennt, also weit weg von im Matheboard gebräuchliche Abkürzung die kein Standard ist.

01.09.2006, 21:26

JochenX

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"diff'bar" eigentlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bijektivität ist imho eher schon zu viel gefordert, Injektivität reicht - man muss dann eben den Defbereich der Umkehrfunktion anpassen, das ist klar!

(OT: ob 0 in IR+ drin ist oder nicht, kommt auf die Def von IR+ an; beide Definitionen sind sinnvoll)

01.09.2006, 21:32

PG

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das mit der injektivität habe ich noch immer nicht verstanden.

ich weiss, dass bijektion eineindeutigkeit ist, aber was ist injektiv?? und wie nennt man eindeutigkeit in der fachsprache?

01.09.2006, 22:45

gessi

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Zitat:

Original von system-agent
injektiv bedeutet bedeutet lediglich, dass jeder wert der wertemenge von der funktion in dem intervall nur einmal (oder auch keinmal) angenommen wird.

Hm, wie formuliert man das anders verwirrt

verwirrt

Jeder y-Wert kann nur einmal angenommen werden, das heißt praktisch, dass für a, b (a und b verschieden) aus der Definitionsmenge immer gelten muss $\begin{eqnarray*} f(a)\neq f(b) \end{eqnarray*}$
Das ist zum Beispiel bei streng monotonen Funktionen der Fall. Aber wenn du z.B. eine Parabel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ hast, ist das nicht der Fall, da f(1) = f(-1) oder allgemein f(x) = f(-x). Betrachtest du aber diese Funktion nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \infty ) \end{eqnarray*}$ , ist sie streng monoton wachsend und auf diesem Intervall injektiv.

Bijektiv ist definiert als injektiv und surjektiv.

Surjektiv bedeutet übrigens, dass jeder Wert in der Wertemenge auch wirklich angenommen wird.
Auf dieses Beispiel bezogen: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ als Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre nicht surjektiv, da die negativen Zahlen nicht angenommen werden, f als Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ aber schon.

Ob man "eindeutig" noch anders nennen kann, weiß ich nicht - bei uns in der Vorlesung heißt es "eindeutig".

01.09.2006, 22:50

PG

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achso, das heisst, dass es sich bei injektiven Zuordnungsvorschriften immer um funktionen handelt,die für jeden x-wert einen anderen y-wert haben. also dass sie streng monoton sind

richtig so?

01.09.2006, 23:01

gessi

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1. Satz: Ja, so könnte man es auch ausdrücken.

2. Satz: Stimmt nicht immer unbedingt.
Es stimmt aber, wenn f stetig ist.
Wenn f nicht stetig ist, muss es nicht stimmen, z.B. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \end{eqnarray*}$ (ohne 0) $\begin{eqnarray*} \to \mathbb R,~f(x)= \frac {1} {x} \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist injektiv, aber nicht streng monoton.

smile

smile

01.09.2006, 23:04

PG

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fehler...bei deinem eintrag

01.09.2006, 23:06

gessi

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Schon verbessert - gegen R\{0} hat LaTeX offenbar was... vermutlich stört \

@ all: Kann man das irgendwie darstellen?

Edit: Es gilt übrigens immer: streng monotone Funktionen sind injektiv - aber die Umkehrung gilt eben nur unter Stetigkeit.

01.09.2006, 23:10

PG

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okkk habs soweit verstanden, aber jetzt habe ich noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

wofür steht das linke und wofür das rechte?

01.09.2006, 23:13

pseudo-nym

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Definitionsmenge links, Wertemenge rechts

01.09.2006, 23:14

PG

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danke an alle

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