Primelemente in Z[i]

10.12.2008, 20:23	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Primelemente in Z[i] Guten Abend an alle Hier mein Problem: Zeigen sie ein Element aus Z ist genau dann prim, wenn es zu einem der folgenden assoziiert: 1) zu $\begin{eqnarray} 1+i \end{eqnarray}$ 2) zu $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} p=a^{2}+b^{2} \end{eqnarray}$ eine Primzahl in $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} p\equiv 1 mod 4 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a>\|b\|>0 \end{eqnarray}$ gilt. 3) zu einer Primzahl p in $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\equiv3 mod 4 \end{eqnarray}$ Außerdem verstehe ich den Unterschied zwischen Primzahl und Primelement nicht. Hat jemand einen gut verständlichen Ansatz für mich, oder evtl einen kompletten Beweis, damit ich diesen nachvollziehen kann? Meine Ansatz ist nur: nicht jede Primzahl in Z ist auch eine in Z, und das ist wohl eher dürftig ... Also ich wäre wirklich für jede Hilfe mehr als dankbar... Süßes tier^^ LG
10.12.2008, 22:51	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
hat keiner eine idee? wenigstens einen ansatz? habe eben dies gefunden: http://www2.math.uni-paderborn.de/filead..._scheZahlen.pdf kann ich damit eine lösung der aufgabe formulieren? LG
11.12.2008, 14:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primelemente in Z[i] Das Skript liefert doch schon mal eine gute Grundlage für die Betrachtungen. Mit Lemma 5.4 kann man recht schnell folgern, dass die Elemente, die 1) oder 2) erfüllen in Z[i] prim sind. Die Sätze 5.6 und 5.7 liefern dann mehr oder weniger den Rest. Der Unterschied zwischen Primzahl und Primelement ist der, dass Primzahl der Ausdruck für die Primelemente in Z ist. In Z[i] müssen das eben keine Primelemente mehr sein, da z.B. 5=(2+i)(2-i) ist. Das Element 2+i ist hingegen ein Primelement in Z[i], was dann hier auch zu zeigen ist (Fall 2). Komplette Beweise gibt es hier übrigens nicht, aber wenn Du ein konkretes Problem schilderst, helfen wir Dir gerne. PS: Pass auf, dass Du mit Z[i] und dem Tag für kursive Schrift ([i]=italic) nicht durcheinander kommst.
11.12.2008, 18:19	crazyluisa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider war diese Aufgabenstellung genau das Problem Also das war eine Aufgabe von einem Matheübungsblatt was ich heute abgeben musste
11.12.2008, 18:34	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann solltest Du in Zukunft eher anfangen, oder Fragen stellen, die sich in kürzerer Zeit beantworten lassen. Du sollst hier die Lösung selbst finden und das dauert nun mal seine Zeit. btw: Das Pushen der eigenen Frage ist hier in meinen Augen sinnlos, da sowieso jeder halbwegs lesbare Beitrag bearbeitet wird. Ein Thema, zu dem bereits eine Antwort existiert, schaue ich mir nicht immer nochmal an.

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