Folgen und Berührungspunkte

10.12.2008, 21:58

Klappergrasmuecke

Folgen und Berührungspunkte

Hi Leute,

ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} a_n, b_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_{2n}=a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2n-1}=b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Aufg.
Die Menge aller Berührungspunkte von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ bestimmen
Und: Welche Bedingungen müssen an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gestellt werden damit $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Also meine Gedanken:

Die Menge $\begin{eqnarray*} C_B \end{eqnarray*}$ der Berührungspunkte von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ , muss ja gleich der Menge $\begin{eqnarray*} A_B \end{eqnarray*}$ der Berührungspunkte von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ vereinigt mit der Menge $\begin{eqnarray*} B_B \end{eqnarray*}$ der Berührungspunkte von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sein.
Da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a_n \rightarrow a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \rightarrow b \end{eqnarray*}$ und jede konvergente Folge nur einen Berührungspunkt hat ist $\begin{eqnarray*} A_B=\{a\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_B=\{b\} \end{eqnarray*}$ .Also dann $\begin{eqnarray*} C_B=C_A \cup C_B=\{a,b\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn sie nur einen Berührungspunkt hat also $\begin{eqnarray*} C_B \end{eqnarray*}$ nur ein Element hat, also $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ .

Soweit ist alles klar, aber wie begründe ich das formal? Das was ich da jetzt hingeschrieben habe kann ja nicht die Lösung der Übungsaufg sein (gibt 6 von 30 Punkten)...

Vermutlich müsste ich $\begin{eqnarray*} C_B=C_A \cup C_B \end{eqnarray*}$ noch richtig beweisen oder?

Danke schonmal im Voraus für ne Antwort smile

11.12.2008, 19:41

Abakus

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RE: Folgen und Berührungspunkte
Erstmal gefragt, was ist ein Berührpunkt einer Folge?

Zeigen musst du dann, dass es einmal Berührpunkte sind, was du da hast (dazu hast du schon den Ansatz), und dass es darüberhinaus keine weiteren Berührpunkte gibt (könnten ja theoretisch welche dazukommen).

Grüße Abakus smile

11.12.2008, 20:12

Klappergrasmuecke

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RE: Folgen und Berührungspunkte
Hi, danke für deine Antwort!

Zitat:

Original von Abakus
Erstmal gefragt, was ist ein Berührpunkt einer Folge?

Das ist der Grenzwert einer Teilfolge der Folge.

Zitat:

Original von Abakus
Zeigen musst du dann, dass es einmal Berührpunkte sind, was du da hast (dazu hast du schon den Ansatz), und dass es darüberhinaus keine weiteren Berührpunkte gibt (könnten ja theoretisch welche dazukommen).

Mhh, also dass es Berührpunkte sind würde ich so zeigen:

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist Teilfolge von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ nach Definition von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist das auch ein Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ . Ebenso für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Reicht das?

Jetzt, dass keine weiteren hinzugekommen sind:

Angenommen es gäbe einen weiteren Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ . Dann gäbe es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschieden ist. Betrachte dann diejenigen Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ , die auch Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sind. Diese bilden selber wieder eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ . Die Teilfolgen einer konvergenten Folge konvergieren aber gegen den Grenzwert der Folge. Dann konvergiert also auch eben genannte Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Das ist aber Widerspruch zur Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert (denn d.h. ja auch, dass alle Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergieren. Ist das ok?

12.12.2008, 16:26

Abakus

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RE: Folgen und Berührungspunkte

Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Hi, danke für deine Antwort!

Zitat:

Original von Abakus
Erstmal gefragt, was ist ein Berührpunkt einer Folge?

Das ist der Grenzwert einer Teilfolge der Folge.

OK, ich würde das einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Verdichtungspunkt der Folge nennen.

Zitat:

Mir würde es reichen.

Zitat:

Jetzt, dass keine weiteren hinzugekommen sind:

Angenommen es gäbe einen weiteren Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ . Dann gäbe es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschieden ist. Betrachte dann diejenigen Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ , die auch Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sind. Diese bilden selber wieder eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ . Die Teilfolgen einer konvergenten Folge konvergieren aber gegen den Grenzwert der Folge. Dann konvergiert also auch eben genannte Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Das ist aber Widerspruch zur Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert (denn d.h. ja auch, dass alle Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergieren. Ist das ok?

Du findest i.A. keine unendlich vielen Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , die zu $\begin{eqnarray*} (c_{k_n}) \end{eqnarray*}$ gehören. An der Stelle musst du noch genauer argumentieren.

Grüße Abakus smile

13.12.2008, 17:27

Klappergrasmuecke

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ok, dann würd ich sagen, wenn es für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht unendlich viele gibt, dann muss es aber für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ unendlich viele geben (und umgekehrt). Denn wären es von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ jeweils nur endlich viele, dann könnte $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ ja nicht mehr eine Folge sein ( denn $\begin{eqnarray*} c_{k_n} \end{eqnarray*}$ besteht ja nur aus Folgegliedern die zu $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gehören). So dann betrachtet man nur die Folgelieder von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ je nachdem welche unendlich viele sind und so also eine Teilfolge sind und dann gehts in der Argeumnetation weiter, wie ichs vorher schon gemacht habe.

Passt es so?

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