Berechnung eines Integrals

11.12.2008, 13:26

tim taler

Berechnung eines Integrals

Hallo,

wie berechnet man

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\sqrt{1+4x^2}~dx \end{eqnarray*}$

normalerweise doch Obergrenze minus Untergrenze. Hier ist die Untergrenze 0.
also einfach nur 3 für x einsetzen und fertig?

Gruss tt

11.12.2008, 13:36

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Zitat:

Original von tim taler
normalerweise doch Obergrenze minus Untergrenze.

Etwas lax formuliert. Wenn schon, dann

F(Obergrenze) - F(Untergrenze)

mit Stammfunktion F des Integranden.

Zitat:

Original von tim taler
Hier ist die Untergrenze 0.
also einfach nur 3 für x einsetzen und fertig?

Das stimmt nur im Fall F(0)=0.

11.12.2008, 13:40

tmo

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Du kannst das Integral durch die Substitution $\begin{eqnarray*} 2x=\sinh(u) \end{eqnarray*}$ lösen.

11.12.2008, 14:14

tim taler

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@arthur:

ok hab ich verstanden. Und das ist hier nicht der fall...

@tmo:
ich habe eine Tabelle für Integralsubstitutionen vorliegen und kann mir ungefähr vorstellen was du vor hast. da ich aber noch sehr ungeübt in der Integralrechnung bin bitte ich dich mir das etwas genauer zu erläutern.

11.12.2008, 14:50

klarsoweit

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Alternativ kannst du auch die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 2 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ nehmen. Und wo ist jetzt das Problem? Die Substitutionsregel anwenden?

EDIT: habe leider ins falsche Fach gegriffen. traurig

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 16:16

tim taler

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ja da liegt das Problem, habe sowas noch nicht gemacht.

11.12.2008, 18:18

klarsoweit

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Dann frage ich mich, wie du an so eine Aufgabe gerätst.

12.12.2008, 10:42

tim taler

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na ich fange gerade mit dem Thema an.
würdest du mir freundlicherweise zeigen wie das geht?

Gruss tt

12.12.2008, 11:16

klarsoweit

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Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

oder umgekehrt:

$\begin{eqnarray*} \int_{g(a)}^{g(b)}~f(x)~dx = \int_a^b~f(g(u)) \cdot g'(u)~du \end{eqnarray*}$

Für dich ist die 2. Form angebracht mit der von mir schon genannten Substitution.

15.12.2008, 18:25

tim taler

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hallo klarsoweit,

hab mich ein wenig eingelesen.
u soll also diue innere funktion sein nehme ich an und die Wurzel die äussere?
nun habe ich für

$\begin{eqnarray*} u= 1+4*x^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} u'(x)= 8x \end{eqnarray*}$

ob man nun schon einsetzen kann in die von die genannte gleichung weiß ich nicht.
ich glaube jetzt muss noch dx bestimmt werden, habe mir zwar einige Beispiele angesehen, leider war aber keines mit Wurzel dabei. Kannst du mir den nächsten Schritt bitte zeigen?

Gruss, tt

16.12.2008, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} u'(x)= \frac{4*x}{\sqrt{4*x^2 +1}} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß das nicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u(x) = 1+4x^2 \end{eqnarray*}$ ist, hatte ich dir eine andere Substitution genannt.

16.12.2008, 10:29

tim taler

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Da hab ich Spassvogel noch die Wurzel mit abgeleitet. Ich verbessere die Ableitung im letzten Post.
Welche Substitution hättest du gewählt, und warum?
Ich gehe mal davon aus das ich die beste Art zu substituieren erst nach einiger Übung anwenden kann, oder hast du einen Tipp wann man wie substituieren soll?

Könnte ich nun so weitermachen:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=8x=\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{8x} \end{eqnarray*}$

einsetzen in die Ausgangsgleichung

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\sqrt{u} ~ \frac{du}{8x} \end{eqnarray*}$

?

Gruss, tt

16.12.2008, 10:36

klarsoweit

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Das ändert nichts an der Tatsache, daß du es mit einer Substitution versuchst, die von niemanden vorgeschlagen wurde und die letztlich auch nicht zum Ziel führt. unglücklich

16.12.2008, 11:03

tim taler

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na dann schlag mal bitte eine vor Augenzwinkern

16.12.2008, 11:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Alternativ kannst du auch die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 2 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ nehmen. Und wo ist jetzt das Problem? Die Substitutionsregel anwenden?

EDIT: wie schon gesagt: richtig ist $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$

16.12.2008, 11:20

tim taler

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ok ich setze u=1+4*x^2 ein...

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-1}{2*(4*x^2 +1)}+2*x^2+ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und wie weiter?

16.12.2008, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
ok ich setze u=1+4*x^2 ein...

Hallo!!!

Das habe ich nicht geschrieben. geschockt

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-1}{2*(4*x^2 +1)}+2*x^2+ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du jetzt darauf? verwirrt

16.12.2008, 12:00

tim taler

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na indem ich wie oben schon gesagt eingesetzt habe.
aber was soll denn dann für u stehen und sag mir auch bitte gleich warum?

16.12.2008, 12:09

klarsoweit

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RE: Berechnung eines Integrals
Heidinei, ist das schwer. unglücklich

Du sollst in $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~\sqrt{1+4x^2}~dx \end{eqnarray*}$ die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 2 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ verwenden. Dazu mußt du jedes x durch den angegeben Term ersetzen und das dx aus der Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

16.12.2008, 14:05

tim taler

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RE: Berechnung eines Integrals
achso, dann ersetze ich mal x

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{u}\mid* \sqrt{u^4 -u^2 +1} \end{eqnarray*}$

und nun? ableiten?

16.12.2008, 15:51

klarsoweit

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RE: Berechnung eines Integrals
Kannst du erläutern, wie du dahin gekommen bist?

16.12.2008, 16:21

tim taler

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ja

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4*(\frac{u^2 -1}{2u}) ^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4*(\frac{u^4-2u^2 +1}{4u^2} )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+u^2 -2 +\frac{1}{u^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u^2 + \frac{1}{u^2}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{u} \mid *\sqrt{u^4-u^2+1} \end{eqnarray*}$

16.12.2008, 18:00

klarsoweit

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Ach so was blödes! Hammer

Ich habe eine "Kleinigkeit" übersehen. geschockt

Tut mir leid. traurig

Also die richtige Substitution ist $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4x^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot \frac{1}{16}(u - \frac 1 u)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}(u^2 - 2 + \frac{1}{u^2})} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{1}{4}(u^2 + 2 + \frac{1}{u^2})} = \frac 1 2 \cdot \sqrt{(u + \frac{1}{u})^2} = \frac 1 2 \cdot (u + \frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du noch das dx.

17.12.2008, 13:53

tim taler

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um dx zu erhalten muss ich dz durch etwas teilen oder. Im Nenner stand bei meinen Übungsaufgaben dann die erste Ableitung von u...
was steht hier im Nenner? oder macht man es hier anders?

Gruss, tt

17.12.2008, 14:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
oder macht man es hier anders?

Du mußt erstmal x nach u ableiten.

17.12.2008, 15:04

tim taler

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$\begin{eqnarray*} x'(u)= \frac{u^2 -1}{2u^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{\frac{u^2 -1}{2u^2}} \end{eqnarray*}$

ok?

17.12.2008, 15:15

klarsoweit

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RE: Berechnung eines Integrals
Wieso schreibst du die Ableitung in den Nenner? Es ist doch $\begin{eqnarray*} x'(u) = \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$

Außerdem hatten wir inzwischen $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = \frac 1 4 \cdot (1 + \frac{1}{u^2}) = \frac{u^2 + 1}{4u^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} dx = \frac{u^2 + 1}{4u^2}~du \end{eqnarray*}$ .

17.12.2008, 15:25

tim taler

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *(u+\frac{1}{u} ) \end{eqnarray*}$

das haben wir doch durch einsetzen von x in die Ausgangsgleichung in deinem vorletzten Beitrag berechnet...
warum haben wir das getan wenn wir es nicht brauchen? bin verwirrt!

17.12.2008, 15:44

klarsoweit

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Es sind bei der Substitution 2 Dinge zu tun. Zum einen wird jedes x durch einen anderen Ausdruck ersetzt, beispielsweise durch $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ . Dann muß aber noch das dx ersetzt werden. Das erhalten aus der Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$ . Dazu ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x(u) = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ nach u abzuleiten.

17.12.2008, 16:20

tim taler

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ok, werd ich mir merken!
aber warum haben wir dann oben den Term mit 1/2 berechnet?

17.12.2008, 18:02

klarsoweit

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Verstehe die Frage nicht.

Wir wollen in $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4x^2} \end{eqnarray*}$ das x durch $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 4 \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Und wenn man das macht, erhält man nach einer längeren Rechnung eben $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+4x^2} = \frac 1 2 \cdot (u + \frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$ .

18.12.2008, 10:32

tim taler

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aber dies brauch ich dann erst wieder bei der Rücksubstitution oder wie?

18.12.2008, 11:02

klarsoweit

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Wir wollen doch das Integral $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+4x^2}~dx \end{eqnarray*}$ bestimmen. Da ersetzen wir x und dx mit den oben genannten Termen in u und integrieren fröhlich weiter. An die Rücksubstitution denken wir (wenn überhaupt) erst am Schluß. Wenn man ein bestimmtes Integral berechnet, dann werden bei der Substitution die Grenzen mittransformiert. Dann braucht man nicht mal die Rücksubstitution durchführen.

18.12.2008, 13:30

tim taler

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alles zusammen ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (u +\frac{1}{u} )* (\frac{u^2+1}{4u^2})*du \end{eqnarray*}$

und nun?

18.12.2008, 13:57

klarsoweit

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Integralzeichen davor schreiben und die beiden Brüche auf einen Bruch bringen. smile

19.12.2008, 11:51

tim taler

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~~\frac{du*u*(u^2+1)^2}{8} \end{eqnarray*}$

ok. jetzt kann mann 1/8 auch vor das Integral schreiben oder?

19.12.2008, 14:41

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Aber müßte das nicht $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{(u^2+1)^2}{8u^3}~du \end{eqnarray*}$ heißen?

19.12.2008, 15:40

tim taler

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ja hast Recht ich hatte das du da noch mit rein gerechnet, aber das bleibt ja einfach am Schluß stehen.
Wie nun weiter?

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