Wertetabelle Funktion

11.12.2008, 15:23

Stefanie Liebert

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Wertetabelle Funktion

Hallo1
Ich muss eine Werte Tabelle und Funktion aus folgender Formel:

Nt+1 = Nt + c * Nt * (P-Nt / P)

mit den Angaben c=0,95 P=1000000 und Nt ist im Jahr 1986 57372.
Könnte mir jemand bitte behilflich sein diese Aufgabe zu lösen?
Vielen Dank im vorraus schon...

11.12.2008, 15:44

Jacques

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Hallo,

Wie schön, dass man sich die Informationen mal wieder selbst „zusammenraten“ darf...wäre ja auch langweilig, wenn man direkt mit der Aufgabe anfangen könnte. unglücklich

unglücklich

Ich verstehe es so:

Gegeben ist eine rekursiv definierter Folge -- für was auch immer:

$\begin{eqnarray*} N_{t + 1} = N_t + c \cdot N_t \cdot \frac{P - N_t}{P} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Formel soweit? Oder steht das P vielleicht doch nicht mehr im Zähler? Bitte Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} c = 0{,}95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = 10^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{1986} = 57\,372 \end{eqnarray*}$

(also das t bezeichnet offenbar eine Jahreszahl)

Jetzt soll man die explizite Vorschrift der Folge

$\begin{eqnarray*} (N_t)_{t \geq 1986} \end{eqnarray*}$

finden. Oder anders formuliert: Man sucht die Zuordnungsvorschrift der Funktion N: t --> N(t).

Wenn das nun soweit stimmt: Was sind Deine eigenen Ansätze?

11.12.2008, 16:50

Stefanie Liebert

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ich hatte die Zahlen in die Formel eingesetzt aber mich iritiert vor dem = das Nt aber die Formel ist richtig wie sie da steht.

11.12.2008, 17:02

Jacques

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Zitat:

Original von Stefanie Liebert

mich iritiert vor dem = das Nt

Was meinst Du?

Hm, ich glaube mittlerweile, dass es gar nicht um die Funktionsvorschrift geht, sondern man soll nur einige Zuordnungen aufschreiben. Aber höchstens Du weißt, ob das tatsächlich so ist, welche Zuordnungen dann von Interesse sind u. s. w.

Vielleicht postest Du die Aufgabe nochmal im Original-Wortlaut. Ansonsten ist alles, was wir hier machen können, nur ein „Stochern im Nebel“. ;-)

Denn wir wissen ja nicht einmal, um was es bei der Aufgabe überhaupt geht.

11.12.2008, 17:14

Stefanie Liebert

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Beschreiben sie mit Hilfe dieser Formel den Verlauf der Ausbreitung von Aids unter den angegebenen Voraussetzungen:

-Der Wachstumsfaktor c sei 0,95
-Die maximal infizierte Menge P sei 1000000
-Der Startwert Nt sei der Wert von 1986, also 57372

Legen sie dazu eine Wertetabelle für den Wachstumsprozess an und zeichnen sie den zugehörigen Graphen der Wachstumsfunktion in ein Koordinatensystem. Geben sie neben der Zahl der Aidsinfizierten jeweils auch die Zahl der Neuinfektionen im jeweiligen Jahr an.

11.12.2008, 19:58

Stefanie Liebert

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Kann mir bitte irgenjemand erklären was ich jetzt zu tun hab?

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11.12.2008, 20:08

Jacques

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Kannst Du vielleicht noch sagen, von welcher Art von Wachstum man ausgeht? Du bist ja irgendwie auf die obige Formel gekommen.

12.12.2008, 14:56

Stefanie Liebert

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Die obige Formel stand in der Aufgabe davor...und die habe ich leider nicht.

12.12.2008, 19:44

Jacques

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Tja, weil ich nicht weiß, wie Ihr bisher im Unterricht solche Aufgaben angegangen seid, welches Thema Ihr gerade bearbeitet, auf welchem Niveau der Unterricht statt findet u. s. w., kann ich nur raten:

Ich nehme an, Du sollst einfach per Taschenrechner die Werte für N(1987), N(1988) ... berechnen und in ein Koordinatensystem eintragen. Zusätzlich ermittelst Du jeweils durch DIfferenzbildung die Zahl der Neuinfektionen.

15.12.2008, 21:04

Stefanie Liebert

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Wir haben dir Aufgaben auch nur in die Hand bekommen und sollen diese lösen. Sonst haben wir gerade Kurvenschar.
Wie muss ich das rechnen?

15.12.2008, 22:06

Stefanie Liebert

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bzw wie kann ich den graphen mit einem programm zeichnen wie muss ich das eingeben?

15.12.2008, 23:42

Stefanie Liebert

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1987 : 108 748,431 Neuinfektionen: 51376,43094
1988 : 200824.53026728632 Ni:92076.09926728632
1989 : 353293.8666619859 Ni:152469.3363946996
1990 : 570347.3115809443 Ni:217053.44491895838
1991 : 803146.0045466112 Ni:232798.69296566685
1992 : 953343.3794776659 Ni:150197.37493105466
1993 : 995599.1707472465 Ni:42255.79126958058
1994 : 999761.5596041561 Ni:4162.388856909551
1995 : 999988.0239690766 Ni:226.4643649204876
1996 : 999999.4010621997 Ni:11.377093123203998

Ist das richtig?

15.12.2008, 23:56

mYthos

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Da eine Sättigungsgrenze von 1000000 angegeben ist, kann es sich nur entweder um ein begrenztes oder ein logistisches Wachstum handeln.

Die Funktionen dazu findest du hier in der Boardsuche

Welche Funktion hast du denn für die Erstellung der Wertetabellle verwendet?

mY+

16.12.2008, 00:05

Steffie Liebert

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die oben angegeben ist

Nt+1 = Nt + c * Nt * (P-Nt / P)

16.12.2008, 00:35

mYthos

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Das ist noch nicht die Funktion, sondern im Prinzip eine Differentialgleichung, aus der die Wachstumsfunktion erst berechnet werden muss.

$\begin{eqnarray*} N_{t+1}-N_t = c \cdot N_t \cdot \frac{P - N_t}{P} \end{eqnarray*}$

P ist die Sättigungsgrenze, die Differenz links ist die Bestandsänderung in der Zeiteinheit (von t bis t + 1, also in der Zeit 1)

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd N}{\dd t} = c \cdot N_t \cdot \frac{P - N_t}{P} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N' = \frac{c}{P} \cdot N \cdot (P - N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{P} = k \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, somit hat die Differentialgleichung die Gestalt

$\begin{eqnarray*} N' = k \cdot N \cdot (P - N) \end{eqnarray*}$

Sie sagt aus, dass die Bestandsänderung proportional zu zwei Größen ist, nämlich zum momentanen Bestand N und dem Sättigungsmanko P-N. Ihre Lösung liefert die Funktion des logistischen Wachstums

$\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{P}{1 + b\cdot e^{-Pkt}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{P}{1 + b\cdot e^{-ct}} \end{eqnarray*}$

Wir setzen nun den Zeitpunkt 1986 als t = 0. Dann sind die anfangs Erkrankten in der Anzahl von 57372 der Bestand zur Zeit t = 0. Setze dieses Wertepaar in die Funktion ein und berechne damit den noch unbekannten Parameter b. Danach liegt die Funktion letztendlich vollständig vor und du kannst mit ihr beliebig viele Wertepaare erstellen und auch ihren Graphen skizzieren.

mY+

16.12.2008, 02:13

mYthos

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Falls die Funktion selbst nicht gesucht, sondern lediglich die Wertetabelle aus der Rekursionsgleichung zu erstellen gewesen wäre, kann man - vom Anfangsbestand 1986 (entspricht t = 0) ausgehend - die Wertetabelle systematisch aufbauen, wie du es getan hast.

Die Zahlen darin sind bei dir richtig! Sie geben allerdings nicht exakt den Verlauf der wirklichen logistischen Wachstumsfunktion wieder, wie die Grafiken es zeigen.

Zum Erstellen der Wertepaare und graphischen Veranschaulichung eigent sich Excel recht gut. Du kannst die Zahlenwerte in einer Tabelle eingeben und daraus ein Diagramm anzeigen lassen (sh. Bild). Diagrammtyp: Punkt (XY)

[attach]9395[/attach]

mY+

17.12.2008, 13:49

Stefanie Liebert

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vielen dank für ihre hilfe...

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