Konvergenzuntersuchung

11.12.2008, 15:53

Moerti

Konvergenzuntersuchung

Hallo!

Ich soll den Grenzwert hierzu bestimmen:

Kann mal jemand nachsehen ob das richtig ist? Augenzwinkern

Danke

Also die Folge lautet

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{(n+1!)} \cdot \frac{n^4+2n^3}{2n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Antwort:

Die Folge an ist eine Nullfolge. Es liegt ein Produkt vor, welches den Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1!)} \end{eqnarray*}$ beinhaltet. Dieser Term konvergiert für n --> unendlich gegen Null. Ein Produkt wird dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird, was bedeutet, dass an eine Nullfolge ist!

Ist das richtig???? xD

Wenn ja, darf man das so in ner Klausur schreiben ? ICh meine begründet hätte ich meine Antwort doch und da wir nicht viel Zeit haben und nicht immer stur rechnen sollen würde das doch Sinn ergeben oder?

Viele Grüße

Moerti

11.12.2008, 15:56

tigerbine

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RE: Konvergenzuntersuchung
Nein, dass ist so nicht richtig. Vergleiche hierzu die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{1}{n} \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 16:00

Zizou66

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RE: Konvergenzuntersuchung

Zitat:

Original von Moerti
Antwort:

Die Folge an ist eine Nullfolge. Es liegt ein Produkt vor, welches den Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1!)} \end{eqnarray*}$ beinhaltet. Dieser Term konvergiert für n --> unendlich gegen Null. Ein Produkt wird dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird, was bedeutet, dass an eine Nullfolge ist!

Ist das richtig???? xD

Nein diese Begründung ist falsch. Dann wäre auch

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n}\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

eine Nullfolge und das kann ja nicht sein.

Außerdem meinst du wohl

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n^4+2n^3}{2n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Mein Tipp:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^4+2n^3}{2n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 2n+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ erweitern. Dann vereinfachen.

Wir dürfen in der Schule die Konvergenz damit begründen, dass manche Terme dominant gegenüber anderen bei der Konvergenz ist. So könnte man auch hier vorgehen. Darst du das auch, oder musst du strenger begründen?

Edit: Sorry, Tigerbine zu spät.

11.12.2008, 17:21

Moerti

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Hhhhhmm ehrlich gesagt weiss ich nicht wie "streng" man es haben mag xD
Aber danke für Eure Tipps, ich denke dass hat mir geholfen Augenzwinkern

11.12.2008, 17:28

tmo

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Man kann hier sehr grob abschätzen.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{(n+1)!} \frac{n^4+2n^2}{2n-\sqrt{n}} < \frac{n^4+2n^2}{(n+1)!} < \frac{3n^4}{(n+1)!} = \frac{3n^4}{n!} \cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun hast du verschiedene Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \frac{3n^4}{n!} \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen, um zu zeigen, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

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