Folgen und Reihen; Konvergenz usw.

11.12.2008, 16:37

4242

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Folgen und Reihen; Konvergenz usw.

Hallo!

Man soll einige Folgen auf Konvergenz/Divergenz untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {n^2+n}-n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich die Folge zuerst auf Monotonie untersucht und bin vorerst soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt n \leq \sqrt {3n+n}+1 \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Oder muss ich mich da irgendwo verrechnet haben?
Der nächste Schritt wäre, die Folge auf Beschränktheit zu überprüfen.
Aber wie genau macht man das?

Zuerst mit einer Vermutung?

Diese Reihe möchte ich noch auf absolute Konvergenz oder Divergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^ \infty \frac {1-5^{-k}k} {k} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich das nun machen?
Eigentlich muss ich doch wissen, ob der Nenner oder der Zähler schneller ansteigt.

11.12.2008, 17:15

Klappergrasmuecke

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RE: Folgen und Reihen; Konvergenz usw.

Zitat:

Original von 4242
Hallo!

Man soll einige Folgen auf Konvergenz/Divergenz untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {n^2+n}-n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich die Folge zuerst auf Monotonie untersucht und bin vorerst soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt n \leq \sqrt {3n+n}+1 \end{eqnarray*}$

Hi,

mit du bist "soweit gekommen" meinst du vermutlich, dass du

$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durch Äquivalenzumformungen dahin umgeformt hast? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das nicht stimmt, bin aber nicht ganz sicher...

Zur Beschränktheit hab ich tatsächlich ne Idee: In der Wurzel eine Null addieren. Sprich $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}-n=\sqrt{(n^2 +n +\frac{1}{4} - \frac{1}{4})}-n \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Zur Monotonie:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{n^2+n}-n \leq \sqrt{n^2+3n+2}-n -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sqrt{n^2+n} \leq \sqrt{n^2+3n+2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^2+n \leq (n^2+3n+2) -2 \cdot \sqrt{n^2+3n+2} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2 \cdot \sqrt{n^2+3n+2} \leq 2n+3 \end{eqnarray*}$

So und jetzt noch mal quadrieren und du bist fertig....

Ich hoffe ich hab nicht zu viel Hilfestellung gegeben :/

11.12.2008, 17:42

Mathespezialschüler

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Ich denke, der Weg über die Monotonie und Beschränktheit ist hier doch recht eindeutig zu umständlich. Erweitere einfach mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}+n \end{eqnarray*}$ .

11.12.2008, 18:32

4242

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Ok, dann also:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n^2+n}-n) \cdot (\sqrt{n^2+n}+n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}^2 - \sqrt{n}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}^2 - n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+n-n \end{eqnarray*}$

richtig so?

11.12.2008, 18:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von 4242
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}^2 - \sqrt{n}^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf das $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}^2 \end{eqnarray*}$ und wo ist der Bruch vom Erweitern geblieben?

11.12.2008, 18:48

4242

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$\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{n^2+n}^2 - n^2} {\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

Entschuldigung, den hatte ich ganz vergessen.

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11.12.2008, 19:18

klarsoweit

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Das Quadrat an der Wurzel im Zähler hebt die Wurzel auf. Fasse zusammen und kürze durch n.

11.12.2008, 19:25

4242

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$\begin{eqnarray*} \frac {{n}} {\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {{1}} {\sqrt{n}+n} \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt so?

11.12.2008, 19:57

Mathespezialschüler

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Wie kommst du vom ersten auf den zweiten Term? Das ist falsch ...

11.12.2008, 20:37

4242

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$\begin{eqnarray*} \frac {{n}} {\sqrt{n}+2n} \end{eqnarray*}$

aber stimmt das?!

11.12.2008, 20:44

Q-fLaDeN

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Was rechnest du denn da überhaupt?

Bis hierhin war es richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac {(\sqrt{n^2+n})^2 - n^2} {\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

Dann weiter:

$\begin{eqnarray*} = \frac {n} {\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

So, jetzt Klammere mal $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel im Nenner aus.

11.12.2008, 21:25

4242

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ähm, meinst du:

$\begin{eqnarray*} = \frac {n} {\sqrt{n (n+1)}+n} \end{eqnarray*}$

?

$\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ kann ich doch nicht ausklammern. oder meinst du jetzt etwas anderes?!

11.12.2008, 21:27

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} n^2+n=n^2\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

11.12.2008, 21:46

4242

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oh gott, was bin ich verwirrt. dann war das also schon so gemeint.

$\begin{eqnarray*} = \frac {n} {\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal an, dass ich das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ jetzt aus der Wurzel "herausholen" soll:

$\begin{eqnarray*} = \frac {n} {n \cdot \sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {1} {\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \end{eqnarray*}$

Sollte ich jetzt schon den Grenzwert ablesen können?

Oder wohl nur, ob die Folge überhaupt konvergent ist oder nicht.

11.12.2008, 21:47

Mathespezialschüler

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Du hast im letzten Schritt falsch gekürzt. Guck dir das nochmal genauer an.

11.12.2008, 22:06

4242

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Dieser Term ist aber korrekt? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} = \frac {n} {n \cdot \sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+n} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich doch nur das n kürzen...?!

11.12.2008, 22:13

klarsoweit

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Ja. Wenn man aus der Summe kürzt (dazu muß man nicht dumm sein, wie man so sagt), dann muß man jeden Summanden kürzen.

11.12.2008, 22:45

4242

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$\begin{eqnarray*} = \frac {1} {\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1} \end{eqnarray*}$

So, nun aber hoffentlich. smile

smile

11.12.2008, 22:46

Mathespezialschüler

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Jup. Und wogegen konvergiert das?

11.12.2008, 22:51

4242

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Der Term unter der Wurzel wird immer kleiner...also würde ich sagen gegen 1/2.

11.12.2008, 22:56

Mathespezialschüler

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Genau.

Freude

11.12.2008, 22:57

4242

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Endlich mal was richtig...danke euch allen. smile

smile

11.12.2008, 23:05

4242

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Ich habe noch eine Frage bzgl.:

Diese Reihe möchte ich noch auf absolute Konvergenz oder Divergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum _{k=1} ^ \infty \frac {1-5^{-k}k} {k} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass ich hier einen anderen Ansatz wählen muss, oder?

12.12.2008, 08:21

klarsoweit

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Das empfiehlt sich schon deswegen, weil es sich um eine Reihe handelt. Überlege dir, ob diese Reihe eine gewisse Verwandschaft zu anderen Reihen hat, die konvergent oder divergent sind.

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