Grenzwert gegen Zahl

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11.12.2008, 17:57	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert gegen Zahl Hallo! Soll berechnen: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 1} \frac{\beta^{x-1}-1}{x-1} \end{eqnarray}$ . Mit L'H. ist schnell der Wert $\begin{eqnarray} \ln \beta \end{eqnarray}$ berechnet, das ist jedoch noch nicht in unserem Skript aufgetaucht und wir sollen das also nicht benutzen. Ich habe mir folgende Umformungen überlegt $\begin{eqnarray} \cdots = \lim\limits_{u\to 0} \frac{\beta^u-1}{u} = \lim\limits_{z\to \infty}\frac{\beta^{\tfrac{1}{z}}-1}{\tfrac{1}{z}} = \lim\limits_{z\to\infty} z \cdot (\beta^{\tfrac{1}{z}}-1) \end{eqnarray}$ ... weil ich dachte, den Grenzwert gegen Unendlich leichter berechnen zu können. Ich habe mir dann noch überlegt, den Term (aufgrund des z * ...) als Reihe zu schreiben, das hilft jedoch auch nicht weiter. Kann mir Jemand weiterhelfen?
11.12.2008, 18:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert ist auf $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x \end{eqnarray}$ zurückführbar. Falls du $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}e^x=e^x \end{eqnarray}$ verwenden darfst, kannst du auch sofort sagen, dass der Grenzwert der Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x) = \beta^x \end{eqnarray}$ an der Stelle 0 entspricht.
11.12.2008, 18:03	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Grenzwert meinst du? Den obersten oder den ganz unten? (Sehe hier auch noch nix, gib mir bitte noch nen Tipp ) Und nein, Ableitungen wurden ebenfalls noch nicht behandelt.
11.12.2008, 18:56	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs geschafft, danke für den Tipp.
11.12.2008, 21:26	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mische mir nur ungerne ein, doch würde ich gerne die Lösung zu diesem Problem erfahren. So weit bin ich gekommen: $\begin{eqnarray} e=\lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Nun substituiere ich a^u-1 für x $\begin{eqnarray} e=\lim_{u\to 0}(1+a^u-1)^\frac{1}{a^u-1}=\lim_{u\to 0}(a^u)^\frac{1}{a^u-1} \end{eqnarray}$ Dann wende ich auf beiden Seiten den ln an: $\begin{eqnarray} 1=\lim_{u\to 0}\frac{1}{a^u-1}\cdot u \ln(a)\Rightarrow \frac{1}{\ln(a)}=\lim_{u\to 0}\frac{u}{a^u-1}\Rightarrow \ln(a)=\lim_{u\to 0}\frac{a^u-1}{u} \end{eqnarray}$ Kann vielleicht noch jemand eine Rückmeldung geben?
11.12.2008, 21:42	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst das ganze rückwärts? Naja der letzte Schritt, um zu meiner Anfangsbedingung zu kommen, wäre, u mit (x-1) zu substituieren
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11.12.2008, 21:52	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Ich muss aber gestehen, dass ich nicht wüsste, wie es aus der anderen Richtung her funktioniert, da ich von Anfang an mit dem Grenzwert arbeite. Wenn du Zeit dazu findest, würde ich dich darum bitten, die ersten Schritte deiner Lösung zu präsentieren.
11.12.2008, 22:06	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
gern. $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 1}\frac{\beta^{x-1}-1}{x-1} \stackrel{u:=\beta^{x-1}-1}{=} \lim\limits_{u\to 0}\frac{u}{\log_\beta(u+1)}\\=\lim\limits_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}\cdot\log_\beta(u+1)} = \lim\limits_{u\to 0}\frac{1}{\log_\beta(u+1)^\frac{1}{u}}\\ \stackrel{z:=\frac{1}{u}}{=}\lim\limits_{z\to\infty}\frac{1}{log_\beta(e)}=\frac{\log_e\beta}{\log_e e} = \ln \beta \end{eqnarray}$
11.12.2008, 22:12	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich nochmal für deinen Beitrag und wünsche Gute Nacht
11.12.2008, 22:15	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
meld dich ruhig, wenn du noch fragen hast.
11.12.2008, 22:23	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Im moment bin ich eigentlich ganz zufrieden Nur eine Sache noch: in der zweiten Zeile wird doch die u-te Wurzel vom Argument des Logarithmus gezogen aber da scheinst du dich ein wenig verschrieben zu haben? Das sehe ich: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{u\to 0}\frac{1}{\log_\beta(u+1)^{1}{u}} \end{eqnarray}$ Das hast du aber wahrscheinlich gemeint $\begin{eqnarray} \lim\limits_{u\to 0}\frac{1}{\log_\beta(\sqrt[u]{u+1})} \end{eqnarray}$ Machs gut!
11.12.2008, 22:29	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau das sollte es heißen, ich werde es gleich verbessern

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