konvergiert gegen e

11.12.2008, 18:36

imag

konvergiert gegen e

Hallo
Hab folgendes problem. will die aufgabe $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}-> e (n->\infty) \end{eqnarray*}$
weiß nicht wie ich da am besten drangehe. kann mir da vllt jemand einen tipp geben? würde mir echt helfen.

11.12.2008, 18:41

tmo

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Man könnte folgende Abschätzung zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} e\left( \frac{n}{e} \right)^n < n! < en\left( \frac{n}{e} \right)^n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt der Grenzwert fast unmittelbar.

12.12.2008, 16:56

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wie bekomme ich denn diese abschätzung?

12.12.2008, 17:08

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weiß nicht wo das e und das en herkommt.

12.12.2008, 17:10

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Sofern dir von Potenzreihen her dieses Resultat bekannt sein sollte, kannst du auch dieses hier auf $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ anwenden - sofern du das "darfst". Augenzwinkern

12.12.2008, 18:21

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ich kenne das. hab das auch versucht damit umzustellen. komme aber trotzdem nicht auf diese abschätzung! mir fehlt auf der linken seite das e und auf der rechten seite das ne!

12.12.2008, 18:41

tmo

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Arthur Dent zielte drauf, direkt mit dieser Aussage den Grenzwert zu beweisen. Ohne meine Abschätzung. Das ist einfacher als mein Weg würde ich sagen, da es gar nicht so einfach ist, die Abschätzung zu beweisen.

Ich zeige dir trotzdem mal wie man die Abschätzung herleiten kann:

Es ist

$\begin{eqnarray*} \ln k < \int_k^{k+1} \ln t dt < \ln (k+1) \end{eqnarray*}$

Aufsummieren von $\begin{eqnarray*} k = 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k = n-1 \end{eqnarray*}$ führt zu:

$\begin{eqnarray*} \ln((n-1)!) < \int_1^n \ln t dt < \ln n! \end{eqnarray*}$

Nun wertet man das Integral aus und wendet auf die Ungleichung die streng monoton steigende natürliche Exponentialfunktion an.

12.12.2008, 18:43

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so darf ich das auch nicht machen mit integral und so. das haben wir noch nicht so gemacht. aber habe den hinweis von athur dent nicht ganz verstanden. kannst du das nochmal anders ausdrücken?

12.12.2008, 18:44

tmo

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Zeige, dass für $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 20:58

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Zitat:

Original von tmo
da es gar nicht so einfach ist, die Abschätzung zu beweisen.

Richtig - und deswegen taugt mein Vorschlag nur dann was, wenn diese Aussage im verfügbaren Werkzeugkasten drin ist. Augenzwinkern

13.12.2008, 17:45

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Zitat:

Original von tmo
Zeige, dass für $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e \end{eqnarray*}$

also für diese aussage müsste ich den richtigen "werkzeugkasten" haben. kann diesen beweis nur nicht so ganz auf meine urspüngliche aussage die ich zu beweisen habe zurückführen. und generell wie beweißt man sowas?

13.12.2008, 18:56

Mathespezialschüler

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Das kann man sofort nachrechnen bzw. ganz einfach mit Induktion beweisen. Mit dem Cauchyschen Grenzwertsatz in multiplikativer Schreibweise folgt daraus die Behauptung. Falls der nicht bekannt ist, kann man aus obiger Darstellung und der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^2\left(1+\frac{1}{2}\right)^3\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n=\frac{n^n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

auch die Ungleichung von tmo herleiten.

13.12.2008, 20:23

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Also irgendwie bin ich jetzt total durcheinander! erstmal eine Frage wo ist denn meine wurzel aus meiner ursrünglichen gleichung hin verschwunden? und dann komme ich einfach nicht auf diese gleichung.

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

13.12.2008, 21:18

Mathespezialschüler

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Die Wurzel musst du dann schon noch ziehen, da kommt dann auch der Cauchysche Grenzwertsatz ins Spiel.

Und die Gleichung kannst du, wie gesagt, ganz einfach mit vollständiger Induktion nachweisen. Wo kommst du denn dabei nicht weiter?

14.12.2008, 10:51

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Hallo
hab probleme damit die gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

nachzuweisen. wenn ich für n=1 und n=2 usw einsetzte komme ich irgendewie nie auf diese gleichung. außerdem hab ich probleme die zusammenhänge zwischen dieser gleichung zu der oben genannten ungleichung und meiner ursprünglichen behauptung zu verstehen. wäre nett wenn du mir da ein bisschen helfen könntest. verstehe so teilsachen aber den großen zusammenhang nicht und wie man jetzt auf die ideen kommt das so zu machen.

14.12.2008, 12:07

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ solltest du noch nicht einsetzen, dabei könnte man Probleme bekommen. Aber warum kommst du für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ nicht auf diese Gleichung? Zeig doch mal, was bei dir rauskommt, wenn du das einsetzt.

14.12.2008, 15:27

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wenn ich für n=2 einsetzte habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{2^2}{1\cdot2}=2 \end{eqnarray*}$ raus. oder? bei dem ersten faktor stimmt das ja dann. aber wenn ich für n 3 einsetzte stimmt dies schon nicht mehr mit dem 2. faktor der gleichung überein.

14.12.2008, 15:47

Mathespezialschüler

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Mit welchem zweiten Faktor? Du sollst ja nicht die einzelnen Faktoren, sondern die ganzen Produkte betrachten. Du musst nur die Gleichung ordentlich lesen, so schwierig ist das doch nicht oder?!

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1=\frac{2}{1}=\frac{2^2}{2!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{2}{1}\cdot\frac{3^2}{2^2}=\frac{3^3}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{3^3}{3!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{1}\right)^1\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{3^3}{3!}\cdot\frac{4^3}{3^3}=\frac{4^4}{4!} \end{eqnarray*}$

usw.

14.12.2008, 16:54

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ahh ok jetzt weiß ich wie das gemeint war. sorry hatte das anders verstanden!

14.12.2008, 17:38

Mathespezialschüler

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Wie hattest du es denn verstanden?

14.12.2008, 21:12

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ich hatte die faktoren einzeln betrachtet. war auf jeden fall falsch.
ok das ist jetzt klar. aber was ich jetzt dmit anfangen kann weiß ich immer noch nicht so genau.

14.12.2008, 21:14

tmo

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Es geht darum, dass du diese Aussage verwenden sollst.

Konvergiert eine Folge, so konvergiert das geometrische Mittel der Folgenglieder gegen den selben Grenzwert.

Jetzt hast du schon 3 Wege angeboten bekommen, die Aufgabe zu lösen. Schlag doch mal einen ein Augenzwinkern

18.12.2008, 18:13

imag

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auf jeden fall danke für die hilfe.

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