lineare Abbildung Kern = Bild

11.12.2008, 23:17

Xx AmokPanda xX

lineare Abbildung Kern = Bild

Hallo
ich habe mit einer Aufgabe zu kämpfen, weil ich sie irgendwie nicht versteh und auch nicht wirklich weiß, was ich überhaupt machen muss unglücklich

Aufgabe:

Geben Sie eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} K :\mathbb R ^4 -> \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ mit Bild $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ = Kern $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ an. Zeigen Sie, dass es eine solche Abbildung auf dem $\begin{eqnarray*} R^5 \end{eqnarray*}$ nicht gibt.

Ideen wie ich rangehen soll habe ich irgendwie keine.

11.12.2008, 23:22

kiste

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Eine lineare Abbildung ist doch bereits durch Angabe der Bilder von Basisvektoren bestimmt. 2 davon müssen auf 0 gehen weil sowohl Kern als auch Bild ja 2-dim sein müssen. Die anderen beiden musst du jetzt halt noch geeignet wählen.

11.12.2008, 23:36

Xx AmokPanda xX

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wieso müssen die 2 dimensional sein ???

11.12.2008, 23:47

Ben Sisko

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Dimensionssatz/Rangsatz

12.12.2008, 00:11

Xx AmokPanda xX

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also müsste das dann so aussehen:

Ich hab ja dann eine Basis aus { a, b, c, d } und dann hab ich festgelegt, das

A ( a) = 0 , A (b) = 0 , A (c) = a , A (d) = b

und

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ : y = A x

und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A = \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0\\0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ´

-> Rang = 2, da Bild = Rang -> Bild gleich 2 und der Kern müsste doch wegen A(c) und A (d) auch 2 sein, da diese verschieden 0 sind oder ???

12.12.2008, 00:12

kiste

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Ja an sowas hab ich auch gedacht, ist korrekt.

Warum es für R^5 nicht funktioniert sollte dann auch klar sein

12.12.2008, 00:24

Xx AmokPanda xX

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ähm ehrlich gesagt ist das mir dann noch nicht klar, könnte mir das nur verbal vorstellen.

Da im R5 5 vektoren existieren, kann der Kern nie dem Bild entsprechen, das es nie 3 vektoren gibt, die 0 werden, beziehungsweise der es immer zu einem ungleichgewicht kommt, aber wie kann man das anhand von Formeln begründen ...

und zu oben. Meine Abbildung von R4 -> R4 ist dann K: y= A x oder, weil ich mir auch noch nicht im klaren bin, ob das nun meine Abbildung ist, da ich die dort ja bloß als hilfsmittel definiert hab

12.12.2008, 00:31

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Xx AmokPanda xX
Da im R5 5 vektoren existieren, kann der Kern nie dem Bild entsprechen, das es nie 3 vektoren gibt, die 0 werden, beziehungsweise der es immer zu einem ungleichgewicht kommt, aber wie kann man das anhand von Formeln begründen ...

Nicht so kompliziert... Muss ich den Link nochmal posten? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Xx AmokPanda xX
und zu oben. Meine Abbildung von R4 -> R4 ist dann K: y= A x oder, weil ich mir auch noch nicht im klaren bin, ob das nun meine Abbildung ist, da ich die dort ja bloß als hilfsmittel definiert hab

Ja. Du solltest eine lin. Abb. angeben und das hast du getan...

12.12.2008, 00:36

Xx AmokPanda xX

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also zusammenfassend:

Abbildung: K: y = Ax

und warum es in R5 nicht existiert:

Weil Kern A = Bild A wegen dem Dimensionssatz nicht gilt.

Hätte jemand dafür vielleicht noch eine bessere begrüngung

12.12.2008, 00:45

Ben Sisko

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Sei $\begin{eqnarray*} K: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^5 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.
Angenommen, es würde Kern(A) = Bild(A) gelten...

Bitte vervollständigen, AmokPanda!

12.12.2008, 00:47

Xx AmokPanda xX

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dann müsste K: y = Ax gelten ?

12.12.2008, 00:50

Ben Sisko

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Nein, dann musst du den Dimensionssatz anwenden.

Bei dir scheint aber einiges im Argen zu liegen...

12.12.2008, 00:56

Xx AmokPanda xX

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naja erstes semester, da ist das alles noch ziemliches neuland ...
aber das wird hoffentlich noch

also der dimensionssatz

dimension = kern + bild

also wäre das dann:

dim 5 = kern A + Bild A
-> Kern A verschieden Bild A

so richtig ???

12.12.2008, 01:08

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Xx AmokPanda xX
dimension = kern + bild

Nein, das macht gar keinen Sinn, die Dimension ist einfach eine Zahl, was soll dann diese Gleichung aussagen?

Dass du den Dimensionssatz, den ich oben verlinkt habe, nichtmal richtig zitierst hat wenig damit zu tun, in welchem Semester du bist, sondern wie sorgfältig du arbeitest!

Also jetzt vollständig:

Sei $\begin{eqnarray*} K: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^5 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.
Angenommen, es würde Kern(A) = Bild(A) gelten, dann gilt nach Dimensionssatz $\begin{eqnarray*} \text{dim}(\mathbb{R}^5) = \text{dim(Kern(A))}+\text{dim(Bild(A))}=2\cdot \text{dim(Bild(A))} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \text{dim}(\mathbb{R}^5) = 5 \end{eqnarray*}$ und Dimensionen ganzzahlig sind, folgt der Widerspruch.

12.12.2008, 01:09

Xx AmokPanda xX

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so hatte ich das auch gemeint

wusste halt nur nicht wie ichs aufschreiben soll ...

viellen dank für die hilfe smile

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